Bài toán gốc
Cho hàm số $y=f(x)=-2x^4-2044x^2+2473$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên $[-66;89]$ bằng
A. $2473$.
B. $2475$.
C. $2472$.
D. $2476$.
Lời giải: Hạn chế máy tính
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số bậc bốn trùng phương $y = Ax^4 + Bx^2 + C$ trên một đoạn cho trước. Trong hàm số $y=f(x)=-2x^4-2044x^2+2473$, ta nhận thấy hệ số của $x^4$ và $x^2$ đều âm (A=-2, B=-2044). Phương pháp giải là sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên. Ta có $f'(x) = -8x^3 – 4088x = -8x(x^2 + 511)$. Vì $x^2 + 511 > 0$ với mọi $x$, dấu của $f'(x)$ chỉ phụ thuộc vào $-8x$. Do đó, $f'(x) = 0$ chỉ tại $x=0$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và nghịch biến trên $(0; +\infty)$. Vì đoạn $[-66; 89]$ chứa $x=0$, giá trị lớn nhất của hàm số chắc chắn đạt tại $x=0$.
Bài toán tương tự
Cho hàm số $y=g(x)=-x^4-10x^2+2024$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-5; 7]$ bằng:
A. 2024.
B. 2023.
C. 2013.
D. 2020.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Hàm số $g(x)=-x^4-10x^2+2024$ có dạng bậc bốn trùng phương với hệ số của $x^4$ và $x^2$ đều âm (-1 và -10). Đạo hàm $g'(x) = -4x^3 – 20x = -4x(x^2+5)$. Vì $x^2+5 > 0$, $g'(x)=0$ khi và chỉ khi $x=0$. Do hệ số của $x^4$ âm, hàm số đạt cực đại toàn cục (và là GTLN) tại $x=0$. Vì $0 \in [-5; 7]$, giá trị lớn nhất của hàm số là $g(0) = -0^4 – 10(0)^2 + 2024 = 2024.