Cho hàm số $y={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-3 \right)$, gọi $M=\dfrac{a}{{{e}^{b}}}\left( a\in \mathbb{N},b\in \mathbb{N} \right)$ là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ -5;-2 \right]$

Cho hàm số $y={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-3 \right)$, gọi $M=\dfrac{a}{{{e}^{b}}}\left( a\in \mathbb{N},b\in \mathbb{N} \right)$ là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ -5;-2 \right]$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b$ ?
Đáp án: 9

Lời giải: Ta có: ${y}’={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+2\text{x}-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-3\in \left[ -5;-2 \right] \\ x=1\notin \left[ -5;-2 \right] \end{array} \right.$
Ta có $y\left( -5 \right)=\dfrac{22}{{{e}^{5}}};y\left( -3 \right)=\dfrac{6}{{{e}^{3}}};y\left( -2 \right)=\dfrac{1}{{{e}^{2}}}$. Khi đó $\min\limits_{\left[ -5;-2 \right]}y=\dfrac{6}{{{e}^{3}}}\Rightarrow a=6;b=3\Rightarrow a+b=9$.