Cho hàm số \(y = {x^3} + \left( {2 – m} \right){x^2} + 4m\,\)có đồ thị \(\left( C \right)\). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt \(A\left( { – 2;0} \right),B,C\) sao cho \(A{B^2} + A{C^2} = 12?\)

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = {x^3} + \left( {2 – m} \right){x^2} + 4m\,\)có đồ thị \(\left( C \right)\). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt \(A\left( { – 2;0} \right),B,C\) sao cho \(A{B^2} + A{C^2} = 12?\)

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} + \left( {2 – m} \right){x^2} + 4m = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – mx + 2m} \right) = 0\)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi phương trình \({x^2} – mx + 2m = 0\,\,\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( – 2\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta> 0\\4 + 2m + 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 8m > 0\\m \ne- 1\end{array} \right.\)

Khi đó: gọi \({x_1},\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right).\)

Theo Viet ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = 2m\end{array} \right.\)

Giả sử \(B\left( {{x_1};0} \right),C\left( {{x_2};0} \right)\). Ta có \(A{B^2} = {\left( {{x_1} + 2} \right)^2},A{C^2} = {\left( {{x_2} + 2} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {{x_1} + 2} \right)^2} + {\left( {{x_2} + 2} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} – 4m + 4m – 4 = 0 \Leftrightarrow {m^2} – 4 = 0 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m = 2\)(loại) hoặc \(m =- 2\)(thích hợp)

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Sự tương giao đồ thị hàm số