📌 Đề bài (Câu 12 – Thông hiểu (TH) – Trắc nghiệm Đúng/Sai (MSQ – Xét tính Đúng/Sai của 4 ý a, b, c, d)):
Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1}$. Xét tính đúng sai:
a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -1$
b) Thực hiện phép chia đa thức ta được $y = x – 4 + \frac{6}{x + 1}$
c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x – 4$
d) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Hàm số đã cho: $y = f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1}$, tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
- Xét ý a): Ta có $\lim\limits_{x \to (-1)^+} \frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} = +\infty$ và $\lim\limits_{x \to (-1)^-} \frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} = -\infty$ (do mẫu triệt tiêu tại $x = -1$ nhưng tử số tại $x = -1$ là $(-1)^2 – 3(-1) + 2 = 6 \neq 0$). Do đó, đường thẳng $x = -1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. $\Rightarrow$ Mệnh đề a) ĐÚNG.
- Xét ý b): Thực hiện phép chia đa thức tử cho mẫu:
$x^2 – 3x + 2 = (x + 1)(x – 4) + 6 \Rightarrow y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} = x – 4 + \frac{6}{x + 1}$. $\Rightarrow$ Mệnh đề b) ĐÚNG. - Xét ý c): Vì $y = x – 4 + \frac{6}{x + 1}$ và $\lim\limits_{x \to \pm\infty} [y – (x – 4)] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{6}{x + 1} = 0$, nên đường thẳng $y = x – 4$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. $\Rightarrow$ Mệnh đề c) ĐÚNG.
- Xét ý d): Ta có $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} = \pm\infty$. Bậc của tử (bậc 2) lớn hơn bậc của mẫu (bậc 1) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. $\Rightarrow$ Mệnh đề d) SAI.
👉 Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai (Đáp án: A, B, C)
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Cho hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất $y = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{ax^2 + bx + c}{px + q}$ ($a \neq 0, p \neq 0$):
- Tiệm cận đứng: Nếu $x_0 = -\frac{q}{p}$ không là nghiệm của tử số ($P(x_0) \neq 0$) thì đường thẳng $x = -\frac{q}{p}$ là đường tiệm cận đứng. Bạn có thể tham khảo thêm các dạng bài về xét tính đúng sai của hàm số phân thức.
- Phép chia đa thức: Tách phân thức dạng $y = Ax + B + \frac{R}{px + q}$.
- Tiệm cận xiên: Khi $\lim\limits_{x \to \pm\infty} [y – (Ax + B)] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{R}{px + q} = 0$, đường thẳng $y = Ax + B$ là đường tiệm cận xiên. Xem thêm dạng bài tại tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Tiệm cận ngang: Hàm phân thức có bậc tử lớn hơn bậc mẫu luôn không có tiệm cận ngang.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = \frac{x^2 + 2x – 3}{x – 2}$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 2$.
b) Ta có thể viết $y = x + 4 + \frac{5}{x – 2}$.
c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị là $y = x + 4$.
d) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y = 1$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– a) Đúng: Mẫu có nghiệm $x = 2$, tử $2^2 + 2(2) – 3 = 5 \neq 0 \Rightarrow$ TCĐ: $x = 2$.
– b) Đúng: $x^2 + 2x – 3 = (x – 2)(x + 4) + 5 \Rightarrow y = x + 4 + \frac{5}{x – 2}$.
– c) Đúng: Tiệm cận xiên là $y = x + 4$.
– d) Sai: Phân thức bậc 2 trên bậc 1 không có tiệm cận ngang.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Đúng, d – Sai.
– b) Đúng: $x^2 + 2x – 3 = (x – 2)(x + 4) + 5 \Rightarrow y = x + 4 + \frac{5}{x – 2}$.
– c) Đúng: Tiệm cận xiên là $y = x + 4$.
– d) Sai: Phân thức bậc 2 trên bậc 1 không có tiệm cận ngang.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Đúng, d – Sai.
Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{2x^2 – x + 1}{x – 1}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$.
b) Phép chia đa thức cho kết quả $y = 2x + 1 + \frac{2}{x – 1}$.
c) Tiệm cận xiên của đồ thị là $y = 2x – 1$.
d) Giao điểm của hai đường tiệm cận là $I(1; 3)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– a) Đúng: Tử tại $x=1$ bằng $2 \neq 0 \Rightarrow$ TCĐ: $x = 1$.
– b) Đúng: $2x^2 – x + 1 = (x – 1)(2x + 1) + 2 \Rightarrow y = 2x + 1 + \frac{2}{x – 1}$.
– c) Sai: Tiệm cận xiên phải là $y = 2x + 1$.
– d) Đúng: Thay $x = 1$ vào phương trình tiệm cận xiên $y = 2(1) + 1 = 3 \Rightarrow I(1; 3)$.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.
– b) Đúng: $2x^2 – x + 1 = (x – 1)(2x + 1) + 2 \Rightarrow y = 2x + 1 + \frac{2}{x – 1}$.
– c) Sai: Tiệm cận xiên phải là $y = 2x + 1$.
– d) Đúng: Thay $x = 1$ vào phương trình tiệm cận xiên $y = 2(1) + 1 = 3 \Rightarrow I(1; 3)$.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.
Bài tập 3: Cho hàm số $y = \frac{-x^2 + 3x – 1}{x – 2}$. Xét tính đúng/sai:
a) Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b) Biểu diễn dạng phần nguyên: $y = -x + 1 + \frac{1}{x – 2}$.
c) Đường tiệm cận xiên đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$.
d) Tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là $2$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– a) Đúng: Nghiệm mẫu $x=2$ không làm tử số bằng 0 ($(-2^2)+3(2)-1 = 1 \neq 0$).
– b) Đúng: $-x^2 + 3x – 1 = (x – 2)(-x + 1) + 1 \Rightarrow y = -x + 1 + \frac{1}{x – 2}$.
– c) Sai: Tiệm cận xiên là $y = -x + 1$, khi $x = 0 \Rightarrow y = 1 \neq 0$ nên không qua $O(0;0)$.
– d) Đúng: Đồ thị gồm 1 TCĐ ($x = 2$) và 1 TCX ($y = -x + 1$). Tổng cộng có 2 đường tiệm cận.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.
– b) Đúng: $-x^2 + 3x – 1 = (x – 2)(-x + 1) + 1 \Rightarrow y = -x + 1 + \frac{1}{x – 2}$.
– c) Sai: Tiệm cận xiên là $y = -x + 1$, khi $x = 0 \Rightarrow y = 1 \neq 0$ nên không qua $O(0;0)$.
– d) Đúng: Đồ thị gồm 1 TCĐ ($x = 2$) và 1 TCX ($y = -x + 1$). Tổng cộng có 2 đường tiệm cận.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.
Bài tập 4: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 4x + 3}{x – 3}$. Xét tính đúng/sai:
a) Đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b) Với mọi $x \neq 3$, hàm số rút gọn thành $y = x – 1$.
c) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận xiên.
d) Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– a) Sai: Tử số $x^2 – 4x + 3 = (x – 3)(x – 1)$ triệt tiêu với mẫu, $\lim\limits_{x \to 3} y = 2$ hữu hạn nên $x = 3$ không là TCĐ.
– b) Đúng: $y = \frac{(x – 3)(x – 1)}{x – 3} = x – 1$ với $x \neq 3$.
– c) Đúng: Đồ thị là đường thẳng khuyết 1 điểm nên không có tiệm cận xiên.
– d) Sai: Đồ thị không có bất kỳ đường tiệm cận nào (số đường tiệm cận là 0).
👉 Đáp án: a – Sai, b – Đúng, c – Đúng, d – Sai.
– b) Đúng: $y = \frac{(x – 3)(x – 1)}{x – 3} = x – 1$ với $x \neq 3$.
– c) Đúng: Đồ thị là đường thẳng khuyết 1 điểm nên không có tiệm cận xiên.
– d) Sai: Đồ thị không có bất kỳ đường tiệm cận nào (số đường tiệm cận là 0).
👉 Đáp án: a – Sai, b – Đúng, c – Đúng, d – Sai.
Bài tập 5: Cho hàm số $y = \frac{3x^2 + 5x + 2}{x + 2}$. Xét tính đúng/sai:
a) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = -2$.
b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = 3x – 1$.
c) Đường tiệm cận xiên đi qua điểm $M(1; 2)$.
d) Tích khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị đến hai đường tiệm cận là một hằng số.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– a) Đúng: Tại $x = -2$, tử bằng $3(-2)^2 + 5(-2) + 2 = 4 \neq 0 \Rightarrow$ TCĐ: $x = -2$.
– b) Đúng: $3x^2 + 5x + 2 = (x + 2)(3x – 1) + 4 \Rightarrow y = 3x – 1 + \frac{4}{x + 2} \Rightarrow$ TCX: $y = 3x – 1$.
– c) Đúng: Thay $x = 1 \Rightarrow y = 3(1) – 1 = 2 \Rightarrow M(1; 2)$ thuộc tiệm cận xiên.
– d) Đúng: Đối với đồ thị hàm phân thức bậc 2 trên bậc 1 phân biệt, tích khoảng cách từ điểm $M \in (C)$ tới 2 tiệm cận là không đổi $d_1 \cdot d_2 = \text{const}$.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Đúng, d – Đúng.
– b) Đúng: $3x^2 + 5x + 2 = (x + 2)(3x – 1) + 4 \Rightarrow y = 3x – 1 + \frac{4}{x + 2} \Rightarrow$ TCX: $y = 3x – 1$.
– c) Đúng: Thay $x = 1 \Rightarrow y = 3(1) – 1 = 2 \Rightarrow M(1; 2)$ thuộc tiệm cận xiên.
– d) Đúng: Đối với đồ thị hàm phân thức bậc 2 trên bậc 1 phân biệt, tích khoảng cách từ điểm $M \in (C)$ tới 2 tiệm cận là không đổi $d_1 \cdot d_2 = \text{const}$.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Đúng, d – Đúng.
Để lại phản hồi