Cho hàm số \(y = \frac{{{{3.2}^x} – 1}}{{{2^x} + m}}\) với \(m\) là tham số thực. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) trong khoảng \(\left( { – 2020\,;\,2020} \right)\) để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0\,;3} \right)\). Số phần tử của \(S\) là

Câu hỏi:

Cho hàm số \(y = \frac{{{{3.2}^x} – 1}}{{{2^x} + m}}\) với \(m\) là tham số thực. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) trong khoảng \(\left( { – 2020\,;\,2020} \right)\) để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0\,;3} \right)\). Số phần tử của \(S\) là

A. \(2011\).

B. \(2012\).

C. \(2013\).

D. \(2014\).

Lời giải

Đặt \(t = {2^x}\). Với \(x \in \left( {0\,;3} \right)\) thì \(t \in \left( {1\,;\,8} \right)\).

Hàm số \(y = {2^x}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;3} \right)\).

Khi đó: Hàm số \(y = \frac{{{{3.2}^x} – 1}}{{{2^x} + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0\,;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{\,3t – 1\,}}{{t + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1\,;8} \right)\)

\( \Leftrightarrow \) \(f’\left( t \right) = \frac{{3m + 1}}{{{{\left( {t + m} \right)}^2}}} < 0\,,\,\,\forall t \in \left( {1\,;8} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m + 1 < 0\\ – \,m \notin \left( {1\,;\,8} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{{ – 1}}{3}\\\left[ \begin{array}{l} – \,m \le 1\\ – \,m \ge 8\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{{ – 1}}{3}\\\left[ \begin{array}{l}m \ge – 1\\m \le – \,8\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 1 \le m < – \frac{1}{3}\\m \le – \,8\end{array} \right.\)

Do \(m\) nguyên và \(m \in \left( { – 2020\,;\,2020} \right)\) nên \(m \in \left\{ { – 1\,; – \,8\,; – \,9\,;\,\,\,…\,\,\,; – 2019} \right\}\).

Vậy tập \(S\) có 2013 phần tử.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit