Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau
Bất phương trình \({3^{f\left( x \right) + m}} + {4^{f\left( x \right) + m}} \le 5f\left( x \right) + 2 + 5m\) đúng với mọi \(x \in \left( { – 1;\,2} \right)\) khi và chỉ khi
A. \( – f\left( { – 1} \right) < m < 1 – f\left( 2 \right)\).
B. \( – f\left( { – 1} \right) \le m \le 1 – f\left( 2 \right)\).
C. \( – f\left( 2 \right) < m < 1 – f\left( { – 1} \right)\).
D. \( – f\left( 2 \right) \le m \le 1 – f\left( { – 1} \right)\).
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f’\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( { – 1;\,2} \right)\) như sau
Suy ra \(f\left( 2 \right) < f\left( x \right) < f\left( { – 1} \right)\)\( \Rightarrow f\left( 2 \right) + m < f\left( x \right) + m < f\left( { – 1} \right) + m\), \(\forall x \in \left( { – 1;\,2} \right)\).
Đặt \(f\left( x \right) + m = t\)\( \Rightarrow f\left( 2 \right) + m < t < f\left( { – 1} \right) + m\), \(\forall x \in \left( { – 1;\,2} \right)\) (1)
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành \({3^t} + {4^t} \le 5t + 2 \Leftrightarrow {3^t} + {4^t} – 5t – 2 \le 0\) (2)
Xét \(g\left( t \right) = {3^t} + {4^t} – 5t – 2\)
Ta có \(g’\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + {4^t}\ln 4 – 5\); \(g”\left( t \right) = {3^t}{\ln ^2}3 + {4^t}{\ln ^2}4 > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)
Suy ra phương trình \(g’\left( t \right) = 0\) có tối đa một nghiệm \( \Rightarrow \) phương trình \(g\left( t \right) = 0\) có tối đa 2
nghiệm. Mặt khác \(g\left( 0 \right) = g\left( 1 \right) = 0\) nên phương trình \(g\left( t \right) = 0\) có đúng 2 nghiệm \(t = 0\) và \(t = 1\)
Bảng xét dấu của \(g\left( t \right)\)
Do đó, \(g\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le t \le 1\) hay nghiệm của bất phương trình (2) là \(0 \le t \le 1\) (3)
Từ (1) và (3) thì bất phương trình đã cho đúng với \(\forall x \in \left( { – 1;\,2} \right)\) khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) + m \ge 0\\f\left( { – 1} \right) + m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow – f\left( 2 \right) \le m \le 1 – f\left( { – 1} \right)\).
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trả lời