Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho phương trình \(2f\left( {\sin x – \cos x} \right) = m – 1\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\)?
A. \(13.\)
B. \(12.\)
C. \(11.\)
D. \(21.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \(t = \sin x – \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\).
Với \(x \in \left( { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\) \( \Rightarrow x – \frac{\pi }{4} \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) \( \Rightarrow t \in \left( { – \sqrt 2;\sqrt 2 } \right)\).
Khi đó phương trình đã cho trở thành \(2f\left( t \right) = m – 1\) \( \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{{m – 1}}{2}\).\(\)
Với mỗi giá trị của \({t_0} \in \left( { – \sqrt 2;\sqrt 2 } \right)\) có duy nhất một giá trị \({x_0} \in \left( { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\) sao cho \({t_0} = \sqrt 2 \sin \left( {{x_0} – \frac{\pi }{4}} \right)\).
Do đó phương trình \(2f\left( {\sin x – \cos x} \right) = m – 1\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \) phương trình \(f\left( t \right) = \frac{{m – 1}}{2}\)có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( { – \sqrt 2;\sqrt 2 } \right)\).
Từ bảng biến thiên suy ra \( – 4 < \frac{{m – 1}}{2} < 3\) \( \Leftrightarrow- 7 < m < 7\).
Vậy có \(13\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
=======Thuộc mục: Trắc nghiệm Sự tương giao đồ thị hàm số
Trả lời