Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ bên có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = f(m – x) + mx\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 2;2} \right)\).

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ bên có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = f(m – x) + mx\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 2;2} \right)\).

A. \(1\).

B. \(3\).

C. \(2\).

D. \(4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: hàm số đồng biến khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}{y^\prime } \ge 0,\forall x \in ( – 2;2)\\ \Leftrightarrow – {f^\prime }(m – x) + m \ge 0,\forall x \in ( – 2;2)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {f^\prime }(m – x) \le m,\forall x \in ( – 2;2)\\ \Leftrightarrow {f^\prime }(m – x) \le m,\forall x \in [ – 2;2]\,\,\,(1)\end{array}\)

Đặt \(t = m – x \in [m – 2;m + 2],\forall x \in [ – 2;2{\rm{]}}\) và bất phương trìnhtrở thành:

\({f^\prime }(t) \le m,\forall t \in [m – 2;m + 2] \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{[m – 2;m + 2]} {f^\prime }(t)(*)\).

Trường hợp 1:

Nếu \(0 < m + 2 \le 3 \Leftrightarrow m \le 1 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{[m – 2;m + 2]} {f^\prime }(t) = {f^\prime }(0) = 1 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow m \ge 1 \Leftrightarrow m \ge 1 \Rightarrow m = 1\)

Trường hợp 2: \(m + 2 > 3 \Leftrightarrow m > 1 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{[m – 2;m + 2]} {f^\prime }(t) = {f^\prime }(m + 2)\).

Vậy \((*) \Leftrightarrow m \ge {f^\prime }(m + 2)\), đặt \(a = m + 2 \Leftrightarrow m = a – 2(a > 3) \Rightarrow {f^\prime }(a) \le a – 2\).

Kẻ đường thẳng \(y = x – 2\) có \({f^\prime }(a) > a – 2,\forall a > 3\) nên trường hợp này không thỏa mãn.

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC