DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho \(f\left( x \right) = {2020^x} – {2020^{ – x}}\). Gọi \({m_o}\)là số lớn nhất trong số nguyên \(m\)thỏa mãn \(f\left( {m + 1} \right) + f\left( {\frac{m}{{2020}} – 2020} \right) < 0\).
A. \({m_o} = 2018\).
B. \({m_o} = 2019\).
C. \({m_o} = 2020\).
D. \({m_o} = 2021\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
Ta có: \(f\left( { – x} \right) = {2020^{ – x}} – {2020^x};\, – f\left( x \right) = – {2020^x} + {2020^{ – x}}\)
\( \Leftrightarrow f\left( { – x} \right) = – f\left( x \right)\) nên \(f\left( x \right)\)là hàm số lẻ nên \(f\left( {m + 1} \right) + f\left( {\frac{m}{{2020}} – 2020} \right) < 0\)
\( \Leftrightarrow f\left( {m + 1} \right) < f\left( { – \frac{m}{{2020}} + 2020} \right)\,\,\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = {2020^x} – {2020^{ – x}}\). Ta có: \({f^’}\left( x \right) = \ln 2020\left( {{{2020}^x} + {{2020}^{ – x}}} \right) > 0,\,\forall x\).
Suy ra \(f\left( x \right)\)là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow m + 1 < – \frac{m}{{2020}} + 2020 \Leftrightarrow m < \frac{{2019.2020}}{{2021}}\).
Vậy \({m_o} = 2018\).
– Tư duy + C. asio:
!!! Cách kiểm tra tính chẵn lẻ: Ta có: \(f\left( x \right) = {2020^x} – {2020^{ – x}}\).
– Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho \(x = 1 \to f\left( x \right) \approx 2019.999505\,;\,x = – 1 \to f\left( x \right) \approx – 2019.999505\).
Suy ra: \(f\left( { – 1} \right) = – f\left( 1 \right)\). Vậy hàm số trên có tính chất chẵn – lẻ.
Ta có: \(f\left( {m + 1} \right) + f\left( {\frac{m}{{2020}} – 2020} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow f\left( {m + 1} \right) < f\left( { – \frac{m}{{2020}} + 2020} \right)\,\,\,\)
Ta lại có: \(f\left( x \right) = {2020^x} – {2020^{ – x}}\) là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\( \Leftrightarrow m + 1 < – \frac{m}{{2020}} + 2020 \Leftrightarrow m < \frac{{2019.2020}}{{2021}}\). Vậy \({m_o} = 2018\).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========