Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật.

Điều kiện: n≥2,n∈N.

Theo như cách dựng được nêu trong phần phương pháp ta có số hình chữ nhật được tạo thành là \(
C_n^2\) hình; số tam giác được tạo thành từ 2n đỉnh của đa giác là \(
C_{2n}^3\) tam giác.

Từ giả thiết ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
C_{2n}^3 = 20C_n^2 \Leftrightarrow \frac{{(2n)!}}{{3!(2n – 3)!}} = 20\frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}}\\
\Leftrightarrow \frac{{2n(2n – 1)(2n – 2)(2n – 3)!}}{{6(2n – 3)!}} = \frac{{20n(n – 1)(n – 2)!}}{{2(n – 2)!}}\\
\Leftrightarrow \frac{{n(2n – 1)(2n – 2)}}{3} = 10n(n – 1)\\
\Leftrightarrow 4{n^2} – 6n + 2 = 30n – 30 \Leftrightarrow 4{n^2} – 36n + 32 = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
n = 8\\
n = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy có \(
C_8^2 = 28\) hình chữ nhật.