Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _{16}}x = {\log _{20}}y = {\log _{25}}\frac{{2x – y}}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{y}{x}\).

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

ĐỀ BÀI:

Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _{16}}x = {\log _{20}}y = {\log _{25}}\frac{{2x – y}}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{y}{x}\).

A. \(T = \frac{2}{3}\). 

B. \(T = \frac{3}{2}\). 

C. \(T =  – \frac{2}{3}\) 

D. \(T =  – \frac{3}{2}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tự luận

Đặt: \({\log _{16}}x = {\log _{20}}y = {\log _{25}}\frac{{2x – y}}{3} = t\)\( \Rightarrow x = {16^t};\,y = {20^t};\frac{{2x – y}}{3} = {25^t}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {2.16^t} – {20^t} = {3.25^t}\\ \Leftrightarrow 2 – {\left( {\frac{{20}}{{16}}} \right)^t} = 3.{\left( {\frac{{25}}{{16}}} \right)^t}\\ \Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{5}{4}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{5}{4}} \right)^t} – 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \({\left( {\frac{5}{4}} \right)^t} = u\,\,\,\,\,\,\left( {u > 0} \right)\)

Phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow 3{u^2} + u – 2 = 0\,\,\left( {**} \right)\). 

Do \(u > 0\) nên khi giải phương trình \(\left( {**} \right)\)ta chỉ lấy nghiệm \(u = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow {\left( {\frac{5}{4}} \right)^t} = \frac{2}{3}\). 

Ta có: \(T = \frac{y}{x} = \frac{{{{20}^t}}}{{{{16}^t}}} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^t} = \frac{2}{3}\).

Tư duy + Casio

Đặt: \({\log _{16}}x = {\log _{20}}y = {\log _{25}}\frac{{2x – y}}{3} = t\)\( \Rightarrow x = {16^t};\,y = {20^t};\frac{{2x – y}}{3} = {25^t}\)

\( \Rightarrow \frac{y}{x} = {\left( {\frac{{20}}{{16}}} \right)^A} = \frac{2}{3}\).

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. ĐẠO HÀM g'(x)

2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)

3. Lập BBT xét dấu g'(x)

4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

===========