Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({2020^{2019\left( {{x^2} – y + 4} \right)}} = \frac{{4x + y}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = y – 2x\).

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({2020^{2019\left( {{x^2} – y + 4} \right)}} = \frac{{4x + y}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = y – 2x\).

A. \(\min P = 4\). 

B. \(\min P = 2\). 

C. \(\min P = 1\). 

D. \(\min P = 3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Cách 1. 

Từ giả thiết \({2020^{2019\left( {{x^2} – y + 4} \right)}} = \frac{{4x + y}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) suy ra

\({2020^{2019\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} – \left( {4x + y} \right)} \right]}} = \frac{{4x + y}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{{2020}^{2019{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}}}{{{{2020}^{2019\left( {4x + y} \right)}}}} = \frac{{4x + y}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2}{.2020^{2019{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \left( {4x + y} \right){.2020^{2019\left( {4x + y} \right)}}\). \(\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t{.2020^{2019t}}\) với \(t > 0\).

Ta có \(f’\left( t \right) = {2020^{2019t}} + 2019t{.2020^{2019t}}.\ln 2020 > 0,\,\,\forall t > 0\). Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên\(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right) = f\left( {4x + y} \right)\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 4x + y\)\( \Leftrightarrow y = {x^2} + 4\).

Suy ra \(P = y – 2x = {x^2} – 2x + 4 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 3 \ge 3,\forall x > 0\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x – 1} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 5\). Vậy \(\min P = 3\).

Cách 2. 

Ta tối giản \(2020 \to 20\) và \(2019 \to 19\) để máy tính có thể xử lý được các phép tính.

Khi đó giả thiết trở thành \({20^{19\left( {{x^2} – y + 4} \right)}} = \frac{{4x + y}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\). Cho \(x = 0,01\), ta có

\({20^{19\left( {0,{{01}^2} – y + 4} \right)}} = \frac{{4.0,01 + y}}{{{{\left( {0,01 + 2} \right)}^2}}}\).

Nhập vào máy tính biểu thức \({20^{19\left( {0,{{01}^2} – x + 4} \right)}} – \frac{{4 \times 0,01 + x}}{{{{\left( {0,01 + 2} \right)}^2}}}\) như sau

Sau đó sử dụng lệnh SOLVEđể tìm nghiệm \(x\).

Suy ra \(y = 4,0001 = 4 + {\left( {0,01} \right)^2} = 4 + {x^2}\).

Vậy \(P = y – 2x = {x^2} – 2x + 4\). Sử dụng tính năng giải phương trình bậc hai của máy tính ta tìm được \(\min P = 3\) khi \(x = 1\).

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========