Câu hỏi:
. Cho các số nguyên dương r ≤ n. Thu gọn \(\begin{equation}
\mathrm{C}_{n-1}^{r-1}+\mathrm{C}_{n-2}^{r-1}+\cdots+\mathrm{C}_{r-1}^{r-1}
\end{equation}\) ta được
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
Theo tính chất ta có:
\(\begin{equation}
\mathrm{C}_{n}^{r}=\mathrm{C}_{n-1}^{r-1}+\mathrm{C}_{n-1}^{r} \Rightarrow \mathrm{C}_{n-1}^{r-1}=\mathrm{C}_{n}^{r}-\mathrm{C}_{n-1}^{r}
\end{equation}\)
Do đó:
\(\begin{equation}
\begin{array}{l}
\mathrm{C}_{n-1}^{r-1}=\mathrm{C}_{n}^{r}-\mathrm{C}_{n-1}^{r} \\
\mathrm{C}_{n-2}^{r-1}=\mathrm{C}_{n-1}^{r}-\mathrm{C}_{n-2}^{r} \\
\mathrm{C}_{n-3}^{r-1}=\mathrm{C}_{n-2}^{r}-\mathrm{C}_{n-3}^{r} \\
\ldots \\
\mathrm{C}_{r}^{r-1}=\mathrm{C}_{r+1}^{r}-\mathrm{C}_{r}^{r}
\end{array}
\end{equation}\)
Vậy \(\begin{equation}
\mathrm{C}_{n-1}^{r-1}+\mathrm{C}_{n-2}^{r-1}+\cdots+\mathrm{C}_{r-1}^{r-1}=\mathrm{C}_{n}^{r}-\mathrm{C}_{r}^{r}+\mathrm{C}_{r-1}^{r-1}=\mathrm{C}_{n}^{r}
\end{equation}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp
Trả lời