Câu hỏi:
Cho các số nguyên dương m, n (m < n). Thu gọn \(\mathrm{C}_{n}^{m+1}+\mathrm{C}_{n}^{m-1}+2 \mathrm{C}_{n}^{m}\) ta được
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
\(\begin{aligned}
\mathrm{C}_{n}^{m+1}+\mathrm{C}_{n}^{m-1}+2 \mathrm{C}_{n}^{m} &=\frac{n !}{(m+1) !(n-m-1) !}+\frac{n !}{(m-1) !(n-m+1) !}+2 \cdot \frac{n !}{m !(n-m) !} \\
&=\frac{n !(n-m)(n-m+1)+n ! m(m+1)+2 n !(m+1)(n-m+1)}{(m+1) !(n-m+1) !} \\
&=\frac{n ![(n-m+1)(n+m+2)+m(m+1)]}{(m+1) !(n-m+1) !} \\
&=\frac{n !(n+1)(n+2)}{(m+1) !(n-m+1) !}=\frac{(n+2) !}{(m+1) !(n-m+1) !}=\mathrm{C}_{n+2}^{m+1} .
\end{aligned}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp
Trả lời