Câu hỏi:
. Cho các số k, n là số nguyên thỏa mãn 0 ≤ k < n. \(\mathrm{C}_{n}^{1}-2 \mathrm{C}_{n}^{2}+3 \mathrm{C}_{n}^{3}-\cdots+(-1)^{n-1} n \mathrm{C}_{n}^{n}\) bằng với:
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
Ta có: \(k \mathrm{C}_{n}^{k}=k \cdot \frac{n !}{k !(n-k) !}=\frac{(n-1) ! n}{(k-1) !(n-k) !}=n \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\). Do đó
\(\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} k \mathrm{C}_{n}^{k}=n \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}=n \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k} \mathrm{C}_{n-1}^{k}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp
Trả lời