Câu hỏi:
Cho A là một tập hợp có 20 phần tử. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là chẵn.
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
\(\text { Số tâp con của } A \text { có } 2 \text { phần tử là } C_{2}^{{2}}\)
\(\text { Số tâp con của } A \text { có } 4 \text { phần tử là } C_{2}^{4}\)
…
\(\text { Số tâp con của } A \text { có } 20 \text { phần tử là } C_{\text {on }}^{20}\)
\(\text { Số tập con khác rỗng của } A \text { có số phần tử chẵn là } T=\mathrm{C}_{20}^{2}+\mathrm{C}_{20}^{4}+\mathrm{C}_{20}^{6}+\cdots+\mathrm{C}_{20}^{20} \text { . }\)
\(\text { Ta có }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{C}_{20}^{0}+\mathrm{C}_{20}^{1}+\mathrm{C}_{20}^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{20}^{20}=(1+1)^{20}(1) \\
\mathrm{C}_{20}^{0}-\mathrm{C}_{20}^{1}+\mathrm{C}_{20}^{2}-\mathrm{C}_{20}^{3}+\cdots+\mathrm{C}_{20}^{20}=(1-1)^{20}(2)
\end{array}\right.\)
Cộng vế theo vế của 1 và 2 ta được
\(\begin{aligned}
& 2 \cdot \mathrm{C}_{20}^{2}+2 \cdot \mathrm{C}_{20}^{2}+2 \cdot \mathrm{C}_{20}^{4}+2 \cdot \mathrm{C}_{20}^{6}+\cdots+2 \cdot \mathrm{C}_{20}^{20}=2^{20} \\
\Rightarrow \quad & T=2^{19}-1 \\
\Leftrightarrow & T=524287 .
\end{aligned}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp
Trả lời