Chinh Phục Dạng Toán Xác Suất Có Điều Kiện – Toán 12

1. Đề bài

Một nhà máy sản xuất thiết bị điện tử có hai dây chuyền lắp ráp A và B. Dây chuyền A đảm nhận 60% tổng sản lượng của nhà máy, trong khi dây chuyền B đảm nhận 40% còn lại. Theo bộ phận kiểm định chất lượng, tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của dây chuyền A là 2% và của dây chuyền B là 3%. Một khách hàng mua ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy và phát hiện đó là sản phẩm lỗi. Tính xác suất để sản phẩm lỗi này do dây chuyền B sản xuất.

2. Dạng toán

Tính xác suất có điều kiện kết hợp với công thức xác suất toàn phần (hoặc công thức Bayes). Đây là dạng toán trọng tâm thuộc chuyên đề Xác suất – Thống kê của chương trình Toán 12.

3. Phương pháp giải

Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Gọi các biến cố cơ bản liên quan đến phép thử. Lập hệ đầy đủ các biến cố.
• Bước 2: Gọi biến cố điều kiện (biến cố đã xảy ra theo giả thiết bài toán).
• Bước 3: Tính xác suất của biến cố điều kiện dựa trên Công thức xác suất toàn phần: $P(X) = P(A_1).P(X|A_1) + P(A_2).P(X|A_2) + \dots$
• Bước 4: Tính xác suất có điều kiện cần tìm bằng cách sử dụng định nghĩa: $P(A_k|X) = \frac{P(A_k \cap X)}{P(X)} = \frac{P(A_k).P(X|A_k)}{P(X)}$.

4. Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố: “Sản phẩm do dây chuyền A sản xuất”. Suy ra $P(A) = 0,6$.

Gọi $B$ là biến cố: “Sản phẩm do dây chuyền B sản xuất”. Suy ra $P(B) = 0,4$.

Rõ ràng $A$ và $B$ tạo thành một hệ biến cố đầy đủ.

Gọi $L$ là biến cố: “Sản phẩm chọn ra bị lỗi”.

Theo giả thiết, tỉ lệ lỗi của dây chuyền A là 2% nên ta có xác suất có điều kiện: $P(L|A) = 0,02$.

Tỉ lệ lỗi của dây chuyền B là 3% nên: $P(L|B) = 0,03$.

Xác suất để khách hàng chọn phải sản phẩm lỗi (áp dụng công thức xác suất toàn phần) là:

$$P(L) = P(A).P(L|A) + P(B).P(L|B) = 0,6 \times 0,02 + 0,4 \times 0,03 = 0,012 + 0,012 = 0,024$$

Bài toán yêu cầu tính xác suất để sản phẩm đó do dây chuyền B sản xuất, biết rằng nó bị lỗi. Đây chính là xác suất có điều kiện $P(B|L)$.

Áp dụng định nghĩa xác suất có điều kiện, ta có:

$$P(B|L) = \frac{P(B \cap L)}{P(L)} = \frac{P(B).P(L|B)}{P(L)} = \frac{0,4 \times 0,03}{0,024} = \frac{0,012}{0,024} = 0,5$$

Kết luận: Xác suất để chiếc máy lỗi đó do dây chuyền B sản xuất là $0,5$ (hay 50%).

5. Bài tập tự luyện

1. Câu 1: Một lớp học có 60% học sinh nam và 40% học sinh nữ. Tỉ lệ học sinh nam thích học Toán là 70%, tỉ lệ học sinh nữ thích học Toán là 50%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp và biết rằng học sinh đó thích học Toán. Tính xác suất để học sinh được chọn là nữ.
2. Câu 2: Có hai hộp bi. Hộp 1 chứa 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Hộp 2 chứa 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi đỏ. Tính xác suất viên bi đỏ đó được lấy từ hộp 1.
3. Câu 3: Tại một bệnh viện, xét nghiệm một loại bệnh có độ chính xác như sau: Nếu có bệnh thì 95% xét nghiệm dương tính; nếu không có bệnh thì 90% xét nghiệm âm tính. Biết tỉ lệ người mắc bệnh trong cộng đồng là 2%. Một người đi xét nghiệm có kết quả dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh.
4. Câu 4: Trong một bài kiểm tra trắc nghiệm, một học sinh biết câu trả lời đúng với xác suất 0,8. Nếu học sinh không biết câu trả lời, em đó sẽ đoán ngẫu nhiên 1 trong 4 đáp án. Giả sử học sinh đã chọn đúng đáp án của một câu hỏi. Tính xác suất để học sinh đó thực sự biết câu trả lời chứ không phải do đoán ngẫu nhiên.
5. Câu 5: Một công ty tuyển dụng có 3 nguồn ứng viên: Nguồn X chiếm 30%, Y chiếm 50% và Z chiếm 20%. Tỉ lệ ứng viên đạt yêu cầu ở các nguồn X, Y, Z lần lượt là 80%, 60% và 70%. Chọn ngẫu nhiên một ứng viên đã được nhận vào làm (nghĩa là đạt yêu cầu). Tính xác suất ứng viên đó đến từ nguồn Y.