• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Bài 2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp – Chương 2 – Đại số 11

Đăng ngày: 31/10/2019 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Toán lớp 11 Tag với:Học chương 2 đại số 11, Tổ hợp

Mục lục:

  1. Hoán vị
  2. Chỉnh hợp
  3. Tổ hợp
  4. Ví dụ 1:
    1. Hướng dẫn giải:
  5. Ví dụ 2:
    1. Hướng dẫn giải:
  6. Ví dụ 3:
    1. Hướng dẫn giải:
  7. Ví dụ 4:
    1. Hướng dẫn giải:
  8. Ví dụ 5:
    1. Hướng dẫn giải:

Hoán vị

Tập hợp hữu hạn \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\). Mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của \(A\) được gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó.

Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:

\(P = n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)…2.1 = n!\)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp \(3\) bạn vào một bàn có \(3\) chỗ ngồi?

Giải:

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị khác nhau của \(3\) bạn. Vậy số cách xếp là \({P_3} = 3! = 6\).

Chỉnh hợp

Xét một tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\) và một số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Mỗi cách lấy ra \(k\) phần tử của \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của \(A\).

Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

$A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}} = n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)…\left( {n – k + 1} \right)$

Ví dụ: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm \(3\) chữ số đôi một khác nhau và khác \(0\)?

Giải:

Mỗi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \left( {a,b,c \in \left\{ {1;2;3;…;9} \right\},a \ne b \ne c} \right)\).

Mỗi số dạng trên là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(9\). Do đó số các số cần tìm là: \(A_9^3 = \dfrac{{9!}}{{\left( {9 – 3} \right)!}} = 9.8.7 = 504\) số.

Tổ hợp

Cho tập hợp hữu hạn \(A\) và số nguyên \(k\) với \(0 \le k \le n\). Mỗi cách lấy ra \(k\) phần tử của tập \(A\) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của \(A\).

Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

\(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}} = \dfrac{{A_n^k}}{{k!}}\)

(quy ước \(0! = 1\))

Một số tính chất:

Với \(k,n \in Z,0 \le k \le n\) thì:

+) \(C_n^k = C_n^{n – k}\)

+) \(C_{n + 1}^k = C_n^k + C_n^{k – 1}\)

Ví dụ 1:

Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Hướng dẫn giải:

Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.

Vậy có P5 = 5! = 120 (cách).

Ví dụ 2:

Từ tập hợp X= {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

Hướng dẫn giải:

Gọi A= \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}}\) là số cần lập với \({a_1} \ne 0\) và a1, a2, a3, a4 phân biệt.

  • Chữ số \({a_1} \ne 0\) nên có 5 cách chọn a1.
  • Chọn 3 trong số 5 chữ số còn lại để sắp xếp vào 3 vị trí có \(A_5^3\) cách.

Vậy có 5.\(A_5^3\) = 300 số có thể lập từ tập hợp X.

Ví dụ 3:

Có 10 cuố sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn hỏi có bao nhiêu cách.

Hướng dẫn giải:

Mỗi cách chọn ra 4 trong số 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có \(C_{10}^4\) = 210 (cách chọn).

Ví dụ 4:

Có bao nhiêu cách xếp \(5\) cuốn sách Toán, \(6\) cuốn sách Lý và \(8\) cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ môn thành một nhóm

Trước hết ta xếp 3 nhóm lên kệ sách chúng ta có: \(3! = 6\) cách xếp

Với mỗi cách xếp 3 nhóm đó lên kệ ta có \(5!\) cách hoán vị các cuốn sách Toán, \(6!\) cách hoán vị các cuốn sách Lý và \(8!\) cách hoán vị các cuốn sách Hóa

Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: \(6.5!.6!.8!\) cách xếp

Ví dụ 5:

Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Hướng dẫn giải:

  • Trường hợp 1: Chọn 1 nữ và 2 nam.
    • Chọn 1 trong 3 nữ có 3 cách.
    • Chọn 2 trong 5 nam có \(C_5^2\) cách.

Suy ra có 3\(C_5^2\) cách chọn

  • Trường hợp 2: Chọn 2 nữ và 1 nam.
    • Chọn 2 trong 3 nữ có \(C_3^2\) cách.
    • Chọn 1 trong 5 nam có 5 cách.

Suy ra có 5\(C_3^2\) cách chọn.

Trường hợp 3: chọn cả 3 nữ, có 1 cách.

Vậy có tất cả:  3\(C_5^2\) +  5\(C_3^2\) + 1 = 46 (cách).

Thuộc chủ đề:Toán lớp 11 Tag với:Học chương 2 đại số 11, Tổ hợp

Bài liên quan:

  1. Từ 7 chữ số {1,,2, 3,4, 5 ,6,7 }có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau?
  2. Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số {2,4,6,7,8,9} là:
  3. Từ các chữ số {1; 2; 3; …; 9} lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau.
  4. Số tổ hợp chập k của n phần tử là:
  5. Số tập hợp con gồm 7 phần tử của tập hợp B gồm 18 phần tử là:
  6. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn \((k \le n )\) , mệnh đề nào dưới đây đúng?
  7. Số tổ hợp chập 6 của 7 phần tử là:
  8. Số tổ hợp chập 9 của 9 phần tử là:
  9. Một lớp có 40 học sinh. Số cách chọn ra 5 bạn để làm trực nhật là:
  10. Cho tập A = {1;2;4;6;7;9}. Hỏi có thể lập được từ tập A bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau, trong đó không có mặt chữ số 7.
  11. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chọn từ tập A = {1;2;3;4;5} sao cho mỗi số lập được luôn có mặt chữ số 3 
  12. Một lớp có 8 học sinh được bầu chọn vào 3 chức vụ khác nhau: lớp trưởng, lớp phó và bí thư (không được kiêm nhiệm). Số cách lựa chọn khác nhau sẽ là:
  13. Một nhóm 4 đường thẳng song song cắt một nhóm 5 đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?
  14. Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn Hiển. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có Hiển:
  15. Trong mặt phẳng cho 5 đường thẳng song song \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\) và 7 đường thẳng song song với nhau\(b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6,b_7\) đồng thời cắt 5 đường thẳng trên. Tính số hình bình hành tạo nên bởi 12 đường thẳng đã cho

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 11




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.