Từ một tấm bìa hình vuông có diện tích $1024\text{ cm}^2$, người ta tiến hành tô màu: ở bước 1, chia hình vuông thành $4$ hình vuông bằng nhau và tô màu $1$ hình; ở mỗi bước tiếp theo, mỗi hình vuông chưa tô lại được chia thành $4$ hình vuông nhỏ hơn và tô màu $1$ hình. Tính tổng diện tích được tô màu sau $5$ bước (theo $\text{cm}^2$)

📌 Đề bài (Trả lời ngắn):

Từ một tấm bìa hình vuông có diện tích ban đầu $S_0 = 1024\\text{ cm}^2$, người ta thực hiện quy trình tô màu trang trí như sau:
• Bước 1: Chia hình vuông ban đầu thành $4$ hình vuông nhỏ bằng nhau và tô màu $1$ hình vuông nhỏ.
• Bước 2: Với mỗi hình vuông chưa tô màu ở bước trước, chia thành $4$ hình vuông nhỏ hơn và tô màu $1$ hình vuông nhỏ.
Quy trình trên được lặp lại liên tiếp đến hết bước thứ $5$. Tính tổng diện tích phần hình vuông được tô màu sau $5$ bước (tính theo đơn vị $\\text{cm}^2$).

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm

Tương tự như các bài toán phân rã hoặc tăng trưởng hình học (chẳng hạn như chuyển động bóng nảy theo cấp số nhân), việc xác định diện tích tô màu qua từng bước có thể giải bằng hai cách:

• Cách 1 (Tính trực tiếp diện tích tô màu theo cấp số nhân):
  Ở bước 1, diện tích tô màu là $u_1 = \\frac{1}{4} S_0$.
  Ở bước $n$, diện tích tô thêm tạo thành một cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q = \\frac{3}{4}$ vì mỗi hình vuông nhỏ chưa tô sinh ra $3$ hình chưa tô và $1$ hình tô mới.
  Tổng diện tích tô màu sau $n$ bước là tổng $n$ số hạng đầu: $S_n = u_1 \\frac{1 – q^n}{1 – q}$.
• Cách 2 (Phần bù qua diện tích chưa tô):
  Sau mỗi bước, diện tích chưa tô màu còn lại bằng $\\frac{3}{4}$ diện tích chưa tô của bước trước.
  Sau $n$ bước, diện tích còn lại chưa tô là $R_n = S_0 \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^n$.
  Tổng diện tích đã tô màu là $S_{\\text{tô}} = S_0 – R_n = S_0 \\left[1 – \\left(\\frac{3}{4}\\right)^n\\right]$.

✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)