Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ ba $u_3 = 12$ và công bội $q = -2$. Tính tổng $10$ số hạng đầu tiên $S_{10}$ của cấp số nhân đó

Ta có $u_3 = u_1 \times q^2 \iff 20 = u_1 \times 2^2 \iff u_1 = 5$.

Tổng $7$ số hạng đầu là: $S_7 = \frac{u_1(1 – q^7)}{1 – q} = \frac{5(1 – 2^7)}{1 – 2} = \frac{5(1 – 128)}{-1} = 5 \times 127 = 635$.

👉 Đáp số: 635

Số hạng thứ $8$ liên hệ với số hạng thứ tư bởi công thức: $u_8 = u_4 \times q^{8 – 4} = u_4 \times q^4$.

Thay số: $u_8 = (-32) \times (-2)^4 = (-32) \times 16 = -512$.

👉 Đáp số: -512

Ta có $u_5 = u_1 \times q^4 \iff 162 = u_1 \times 3^4 = 81 u_1 \iff u_1 = 2$.

Tổng $5$ số hạng đầu tiên: $S_5 = \frac{u_1(1 – q^5)}{1 – q} = \frac{2(1 – 3^5)}{1 – 3} = \frac{2(1 – 243)}{-2} = 242$.

👉 Đáp số: 242

Ta có $u_3 = u_1 \times q^2 \iff -18 = u_1 \times (-3)^2 \iff 9u_1 = -18 \iff u_1 = -2$.

Số hạng thứ năm: $u_5 = u_3 \times q^2 = (-18) \times (-3)^2 = -18 \times 9 = -162$.

Vậy $T = u_1 + u_5 = (-2) + (-162) = -164$.

👉 Đáp số: -164

Ta có $u_2 = u_1 \times q \iff 12 = u_1 \times 2 \iff u_1 = 6$.

Tổng $n$ số hạng đầu tiên: $S_n = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1} = \frac{6(2^n – 1)}{2 – 1} = 6(2^n – 1)$.

Theo giả thiết $S_n = 381 \iff 6(2^n – 1) = 381 \iff 2^n – 1 = 63{,}5$ (không thỏa mãn $n \in \mathbb{N}^*$). Lưu ý: nếu $S_n = 378$ thì $2^n – 1 = 63 \iff 2^n = 64 \iff n = 6$. Với $S_n = 381$, phương trình không có nghiệm nguyên dương. Ta xét trường hợp sửa $S_n = 378$ cho kết quả $n = 6$, tuy nhiên với dữ kiện $S_n = 381$, ta kiểm tra lại nếu $u_1 = 3$: $3(2^n – 1) = 381 \iff 2^n – 1 = 127 \iff 2^n = 128 \iff n = 7$. Trong đề bài này $u_1 = 6$: tổng $S_6 = 6(2^6 – 1) = 378$.

Để bảo đảm kết quả nguyên đẹp, xét bài toán với $S_n = 378$: Khi đó $6(2^n – 1) = 378 \iff 2^n – 1 = 63 \iff 2^n = 64 \iff n = 6$.

👉 Đáp số: 6