📌 Đề bài (Trắc nghiệm Đúng/Sai):
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 6$ và công bội $q = -2$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Đối với bài toán về cấp số nhân với công bội âm, ta vận dụng các định nghĩa và công thức cơ bản sau:
- Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ với $n \ge 2$.
- Kiểm tra một số $x$ có là số hạng của dãy: Giải phương trình $u_1 \cdot q^{n-1} = x$. Nếu tìm được $n \in \mathbb{N}^*$ thì $x$ là số hạng thứ $n$.
- Công thức tính tổng các số hạng đầu của cấp số nhân ($q \ne 1$):
$$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$$
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Xét mệnh đề a):
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân, ta có:
$$u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 6 \cdot (-2)^{n-1}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$
Do đó, mệnh đề a) Đúng.
Xét mệnh đề b):
Thay $n = 6$ vào công thức số hạng tổng quát:
$$u_6 = 6 \cdot (-2)^{6 – 1} = 6 \cdot (-2)^5 = 6 \cdot (-32) = -192.$$
Mệnh đề cho $u_6 = 192$ là sai về dấu. Do đó, mệnh đề b) Sai.
Xét mệnh đề c):
Giả sử số $-3072$ là số hạng thứ $n$ của cấp số nhân. Khi đó:
$$u_n = -3072 \iff 6 \cdot (-2)^{n-1} = -3072 \iff (-2)^{n-1} = \frac{-3072}{6} = -512.$$
Nhận thấy $-512 = (-2)^9$, suy ra:
$$n – 1 = 9 \iff n = 10 \in \mathbb{N}^*.$$
Như vậy, $-3072$ đúng là số hạng thứ $10$ của cấp số nhân. Do đó, mệnh đề c) Đúng.
Xét mệnh đề d):
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân với $n = 8$:
$$S_8 = \frac{u_1(1 – q^8)}{1 – q} = \frac{6 \cdot [1 – (-2)^8]}{1 – (-2)} = \frac{6 \cdot (1 – 256)}{3} = 2 \cdot (-255) = -510.$$
Do đó, mệnh đề d) Đúng.
👉 Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai 4 ý a, b, c, d)
Bài tập 1: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -3$ và công bội $q = 2$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• a) $u_5 = u_1 \cdot q^4 = -3 \cdot 2^4 = -3 \cdot 16 = -48$. (Đúng)
• b) Công thức đúng là $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = -3 \cdot 2^{n-1}$. (Sai)
• c) $u_n = -768 \iff -3 \cdot 2^{n-1} = -768 \iff 2^{n-1} = 256 = 2^8 \iff n = 9$. (Đúng)
• d) $S_6 = \frac{u_1(1 – q^6)}{1 – q} = \frac{-3(1 – 64)}{1 – 2} = \frac{-3 \cdot (-63)}{-1} = -189$. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng
Bài tập 2: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công bội $q = 3$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• a) $u_4 = 5 \cdot 3^3 = 5 \cdot 27 = 135$. (Đúng)
• b) Đúng theo công thức tổng quát $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 5 \cdot 3^{n-1}$. (Đúng)
• c) $S_5 = \frac{5(1 – 3^5)}{1 – 3} = \frac{5(1 – 243)}{-2} = \frac{5 \cdot (-242)}{-2} = 5 \cdot 121 = 605$. (Đúng)
• d) $5 \cdot 3^{n-1} = 3645 \iff 3^{n-1} = 729 = 3^6 \iff n – 1 = 6 \iff n = 7$. Mệnh đề ghi là số hạng thứ 8 là sai. (Sai)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai
Bài tập 3: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -2$ và công bội $q = -3$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• a) $u_1 = -2$, $u_2 = -2 \cdot (-3) = 6$, $u_3 = 6 \cdot (-3) = -18$. (Đúng)
• b) $u_5 = u_1 \cdot q^4 = -2 \cdot (-3)^4 = -2 \cdot 81 = -162 \ne 162$. (Sai)
• c) Cấp số nhân có các số hạng đan dấu $-2, 6, -18, 54, \dots$ nên không tăng cũng không giảm. (Sai)
• d) $S_6 = \frac{-2(1 – (-3)^6)}{1 – (-3)} = \frac{-2(1 – 729)}{4} = \frac{-2 \cdot (-728)}{4} = 364$. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng
Bài tập 4: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 64$ và công bội $q = -\frac{1}{2}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• a) $u_4 = 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = 64 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = -8$. (Đúng)
• b) $u_7 = 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^6 = 64 \cdot \frac{1}{64} = 1$. (Đúng)
• c) $S_6 = \frac{64\left(1 – \left(-\frac{1}{2}\right)^6\right)}{1 – \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{64\left(1 – \frac{1}{64}\right)}{\frac{3}{2}} = \frac{63}{\frac{3}{2}} = 42$. (Đúng)
• d) $u_n = 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{(-1)^{n-1} \cdot 2^6}{2^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot 2^{7-n}$. Để $u_n \in \mathbb{Z}$ thì $7 – n \ge 0 \iff n \le 7$, do đó chỉ có đúng $7$ số hạng nguyên. Mệnh đề ghi vô số là sai. (Sai)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai
Bài tập 5: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = \frac{1}{2}$ và công bội $q = 2$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• a) $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 2^{-1} \cdot 2^{n-1} = 2^{n-2}$. (Đúng)
• b) $u_{10} = 2^{10-2} = 2^8 = 256 \ne 512$. (Sai)
• c) $S_{10} = \frac{u_1(q^{10} – 1)}{q – 1} = \frac{\frac{1}{2}(2^{10} – 1)}{2 – 1} = \frac{1023}{2}$. (Đúng)
• d) $S_n = \frac{\frac{1}{2}(2^n – 1)}{2 – 1} = 2^{n-1} – \frac{1}{2} < 2^{n-1}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng
Để lại phản hồi