📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công bội $q = -2$. Giá trị của số hạng thứ $7$ (ký hiệu $u_7$) và tổng của $7$ số hạng đầu tiên (ký hiệu $S_7$) của cấp số nhân đó lần lượt bằng:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Cho cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$:
- Công thức số hạng tổng quát: $$u_n = u_1 \cdot q^{n – 1} \quad (n \ge 2)$$
- Tổng $n$ số hạng đầu tiên: Khi $q \ne 1$, tổng $S_n$ được tính theo công thức:
$$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1}$$
Tương tự như dạng bài tính tổng số hạng cấp số nhân có công bội âm, ta cần đặc biệt cẩn thận khi lũy thừa số âm chẵn hay lẻ để tránh nhầm lẫn dấu.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính số hạng thứ $7$ ($u_7$)
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n = u_1 \cdot q^{n – 1}$.
Với $n = 7$, $u_1 = 5$ và $q = -2$, ta có:
$$u_7 = u_1 \cdot q^{7 – 1} = 5 \cdot (-2)^6$$
Vì $6$ là số mũ chẵn nên $(-2)^6 = 64$. Do đó:
$$u_7 = 5 \cdot 64 = 320$$
Bước 2: Tính tổng của $7$ số hạng đầu tiên ($S_7$)
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
$$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$$
Với $n = 7$, $u_1 = 5$, $q = -2$, ta có:
$$S_7 = \frac{5 \cdot \left[1 – (-2)^7\right]}{1 – (-2)}$$
Vì $7$ là số mũ lẻ nên $(-2)^7 = -128$, suy ra:
$$1 – (-2)^7 = 1 – (-128) = 1 + 128 = 129$$
Mẫu số: $1 – (-2) = 1 + 2 = 3$.
Vậy tổng $S_7$ bằng:
$$S_7 = \frac{5 \cdot 129}{3} = 5 \cdot 43 = 215$$
Như vậy, ta tìm được $u_7 = 320$ và $S_7 = 215$. Bạn đọc cũng có thể tham khảo thêm bài toán tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân để củng cố kỹ năng tính toán.
👉 Chọn đáp án: A
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$. Số hạng thứ $5$ của cấp số nhân đó bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_5 = u_1 \cdot q^4$.
Thay số: $u_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 2: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -3$ và công bội $q = -2$. Giá trị của số hạng thứ $6$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Theo công thức tổng quát: $u_6 = u_1 \cdot q^5$.
Thay số ta có: $u_6 = (-3) \cdot (-2)^5 = (-3) \cdot (-32) = 96$.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 3: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 4$ và công bội $q = 3$. Tổng của $6$ số hạng đầu tiên $S_6$ của cấp số nhân đó bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu: $S_n = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1}$.
Với $n = 6$, ta có:
$$S_6 = \frac{4(3^6 – 1)}{3 – 1} = \frac{4(729 – 1)}{2} = 2 \cdot 728 = 1456$$.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 4: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -1$ và công bội $q = -\frac{1}{2}$. Tính tổng của $5$ số hạng đầu tiên $S_5$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Áp dụng công thức tính tổng $S_5 = \frac{u_1(1 – q^5)}{1 – q}$:
$$S_5 = \frac{-1 \cdot \left[1 – \left(-\frac{1}{2}\right)^5\right]}{1 – \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{-1 \cdot \left[1 – \left(-\frac{1}{32}\right)\right]}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-1 \cdot \frac{33}{32}}{\frac{3}{2}} = -\frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{11}{16}$$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 5: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công bội $q = 2$. Biết tổng của $n$ số hạng đầu tiên bằng $S_n = 381$. Số tự nhiên $n$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ta có công thức: $S_n = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1}$.
Thay $u_1 = 3, q = 2$ và $S_n = 381$ vào công thức:
$$381 = \frac{3(2^n – 1)}{2 – 1} = 3(2^n – 1)$$.
$$\Rightarrow 2^n – 1 = \frac{381}{3} = 127 \Rightarrow 2^n = 128 = 2^7 \Rightarrow n = 7$$.
👉 Chọn đáp án: B
Để lại phản hồi