📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng thứ bảy $u_7 = 19$ và công sai $d = 4$. Tính tổng $S_{15}$ của $15$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết bài toán liên quan đến cấp số cộng khi biết một số hạng bất kỳ và công sai, ta sử dụng các công thức nền tảng sau:
- Công thức số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n – 1)d$, với mọi $n \ge 1$. Từ đây suy ra mối liên hệ $u_k = u_1 + (k – 1)d$ để tìm số hạng đầu $u_1$.
- Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên:
$$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = \frac{n\left[2u_1 + (n – 1)d\right]}{2}$$
Học sinh cũng có thể tham khảo lại bài toán tìm số hạng thứ 10 khi biết số hạng đầu và công sai cũng như dạng toán tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng để nắm chắc kĩ năng biến đổi.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm số hạng đầu tiên $u_1$ của cấp số cộng
Áp dụng công thức số hạng tổng quát với $n = 7$:
$$u_7 = u_1 + (7 – 1)d = u_1 + 6d$$
Thay $u_7 = 19$ và $d = 4$ vào đẳng thức trên, ta được:
$$19 = u_1 + 6 \cdot 4 \iff 19 = u_1 + 24 \iff u_1 = 19 – 24 = -5$$
Bước 2: Tính tổng $S_{15}$ của $15$ số hạng đầu tiên
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng với $n = 15$:
$$S_{15} = \frac{15\left[2u_1 + (15 – 1)d\right]}{2} = \frac{15(2u_1 + 14d)}{2} = 15(u_1 + 7d)$$
Thay $u_1 = -5$ và $d = 4$ vào biểu thức:
$$S_{15} = 15 \cdot [(-5) + 7 \cdot 4] = 15 \cdot (-5 + 28) = 15 \cdot 23 = 345$$
👉 Đáp số (kết quả điền số): 345
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công sai $d = 5$. Tìm số hạng thứ 20 của cấp số cộng đó.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Số hạng thứ 20 của cấp số cộng là: $u_{20} = u_1 + 19d = 2 + 19 \cdot 5 = 2 + 95 = 97$.
👉 Đáp số: 97
Bài tập 2: Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -4$ và công sai $d = 3$. Tính tổng $S_{12}$ của 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta có: $S_{12} = \frac{12 \cdot [2u_1 + 11d]}{2} = 6 \cdot [2 \cdot (-4) + 11 \cdot 3] = 6 \cdot (-8 + 33) = 6 \cdot 25 = 150$.
👉 Đáp số: 150
Bài tập 3: Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng thứ năm $u_5 = 18$ và công sai $d = 2$. Tính số hạng $u_{15}$ của cấp số cộng đó.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Mối liên hệ giữa hai số hạng bất kỳ: $u_{15} = u_5 + (15 – 5)d = 18 + 10 \cdot 2 = 18 + 20 = 38$.
👉 Đáp số: 38
Bài tập 4: Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 4n – 1$. Tính tổng $S_{25}$ của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Số hạng đầu tiên: $u_1 = 4(1) – 1 = 3$.
Số hạng thứ 25: $u_{25} = 4(25) – 1 = 99$.
Tổng 25 số hạng đầu tiên là: $S_{25} = \frac{25 \cdot (u_1 + u_{25})}{2} = \frac{25 \cdot (3 + 99)}{2} = \frac{25 \cdot 102}{2} = 25 \cdot 51 = 1275$.
👉 Đáp số: 1275
Bài tập 5: Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_{10} = 41$ và công sai $d = 4$. Tính tổng $S_{20}$ của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Tìm số hạng đầu tiên: $u_1 = u_{10} – 9d = 41 – 9 \cdot 4 = 41 – 36 = 5$.
Tổng của 20 số hạng đầu là: $S_{20} = \frac{20 \cdot [2u_1 + 19d]}{2} = 10 \cdot [2 \cdot 5 + 19 \cdot 4] = 10 \cdot [10 + 76] = 10 \cdot 86 = 860$.
👉 Đáp số: 860
Để lại phản hồi