📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công bội $q = -2$. Tính tổng $10$ số hạng đầu tiên $S_{10}$ của cấp số nhân đã cho.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Trong chương trình Toán 11, tương tự như khi tính toán với công sai của cấp số cộng, với cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$, ta cần ghi nhớ hai công thức nền tảng:
- Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 imes q^{n-1}$ với mọi $n \ge 2$. Khác với số hạng thứ 10 của cấp số cộng có dạng bậc nhất, cấp số nhân biến đổi theo hàm số mũ.
- Tổng $n$ số hạng đầu tiên: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có công bội $q \ne 1$, tổng $n$ số hạng đầu tiên $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ được xác định bởi công thức:$$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$$
- Lưu ý dấu: Khi công bội mang dấu âm ($q < 0$), cần chú ý lũy thừa $q^n$: với $n$ chẵn thì $q^n > 0$, với $n$ lẻ thì $q^n < 0$. Đặt dấu ngoặc cẩn thận để tránh sai sót.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công bội $q = -2 \ne 1$.
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
$$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$$
Với $n = 10$, ta có:
$$S_{10} = \frac{3 \cdot \left[1 – (-2)^{10}\right]}{1 – (-2)}$$
Ta tính từng biểu thức:
- $(-2)^{10} = 2^{10} = 1024$
- Tử số: $3 \cdot (1 – 1024) = 3 \cdot (-1023)$
- Mẫu số: $1 – (-2) = 1 + 2 = 3$
Do đó:
$$S_{10} = \frac{3 \cdot (-1023)}{3} = -1023$$
Khác với việc tính tổng của cấp số cộng, cấp số nhân đan dấu có các số hạng liên tiếp đổi dấu liên tục, tổng số hạng chẵn ở bài toán này cho giá trị âm.
👉 Chọn đáp án: B
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$. Tìm số hạng thứ sáu $u_6$ của cấp số nhân đó.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
Với $n = 6$, $u_1 = 2$, $q = 3$, ta có:
$$u_6 = 2 \cdot 3^{6 – 1} = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$$
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 2: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công bội $q = -2$. Tìm số hạng thứ bảy $u_7$ của cấp số nhân đó.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
Với $n = 7$, $u_1 = 5$, $q = -2$, ta có:
$$u_7 = 5 \cdot (-2)^{7-1} = 5 \cdot (-2)^6 = 5 \cdot 64 = 320$$
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 3: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = -3$ và công bội $q = -2$. Tổng $8$ số hạng đầu tiên $S_8$ của cấp số nhân đó bằng bao nhiêu?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên: $S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$.
Với $n = 8$, ta có:
$$S_8 = \frac{-3 \cdot [1 – (-2)^8]}{1 – (-2)} = \frac{-3 \cdot (1 – 256)}{3} = -(1 – 256) = 255$$
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 4: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = \frac{1}{3}$ và công bội $q = 3$. Tính tổng $7$ số hạng đầu tiên $S_7$ của cấp số nhân.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Áp dụng công thức $S_n = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1}$:
$$S_7 = \frac{\frac{1}{3} \cdot (3^7 – 1)}{3 – 1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2187 – 1}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2186}{2} = \frac{1}{3} \cdot 1093 = \frac{1093}{3}$$
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 5: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = -4$ và công bội $q = \frac{1}{2}$. Tính tổng $6$ số hạng đầu tiên $S_6$ của cấp số nhân đó.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Áp dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân:
$$S_6 = \frac{u_1(1 – q^6)}{1 – q} = \frac{-4 \cdot \left[1 – \left(\frac{1}{2}\right)^6\right]}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{-4 \cdot \left(1 – \frac{1}{64}\right)}{\frac{1}{2}} = -8 \cdot \frac{63}{64} = -\frac{63}{8}$$
👉 Chọn đáp án: A
Để lại phản hồi