📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ tư $u_4 = 54$ và công bội $q = -3$. Tính tổng $6$ số hạng đầu tiên $S_6$ của cấp số nhân đó.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán về cấp số nhân khi biết một số hạng bất kỳ và công bội, ta sử dụng hai công thức nền tảng:
- Công thức số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ (với $n \ge 2$). Từ số hạng đã cho $u_k$, ta suy ra số hạng đầu tiên: $u_1 = \frac{u_k}{q^{k-1}}$.
- Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ($q \ne 1$): $$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$$
Khi làm việc với cấp số nhân có công bội âm, cần đặc biệt cẩn thận dấu ngoặc khi lũy thừa với số mũ chẵn hoặc lẻ.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm số hạng đầu tiên $u_1$.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân với $n = 4$:
$$u_4 = u_1 \cdot q^3$$
Thay $u_4 = 54$ và $q = -3$ vào biểu thức trên, ta được:
$$54 = u_1 \cdot (-3)^3 \iff 54 = u_1 \cdot (-27) \iff u_1 = \frac{54}{-27} = -2$$
Bước 2: Tính tổng của 6 số hạng đầu tiên $S_6$.
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân với $n = 6$, $u_1 = -2$, $q = -3$:
$$S_6 = \frac{u_1(1 – q^6)}{1 – q} = \frac{-2 \cdot \left[1 – (-3)^6\right]}{1 – (-3)}$$
Ta tính lũy thừa:
$$(-3)^6 = 729$$
Do đó:
$$S_6 = \frac{-2 \cdot (1 – 729)}{1 + 3} = \frac{-2 \cdot (-728)}{4} = \frac{1456}{4} = 364$$
👉 Đáp số (kết quả điền số): 364
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ ba $u_3 = 18$ và công bội $q = 3$. Tính tổng $5$ số hạng đầu tiên $S_5$ của cấp số nhân đó.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có: $u_3 = u_1 \cdot q^2 \iff 18 = u_1 \cdot 3^2 \iff u_1 = 2$.
Tổng $5$ số hạng đầu tiên là: $S_5 = \frac{u_1(1 – q^5)}{1 – q} = \frac{2(1 – 3^5)}{1 – 3} = \frac{2(1 – 243)}{-2} = 242$.
👉 Đáp số: 242
Bài tập 2: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ năm $u_5 = -64$ và công bội $q = -2$. Tính số hạng thứ $8$ của cấp số nhân đó.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa hai số hạng của cấp số nhân:
$u_8 = u_5 \cdot q^{8 – 5} = u_5 \cdot q^3 = (-64) \cdot (-2)^3 = (-64) \cdot (-8) = 512$.
👉 Đáp số: 512
Bài tập 3: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ tư $u_4 = 48$ và công bội $q = 2$. Tính tổng $7$ số hạng đầu tiên $S_7$ của cấp số nhân đó.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có: $u_4 = u_1 \cdot q^3 \iff 48 = u_1 \cdot 2^3 \iff u_1 = \frac{48}{8} = 6$.
Tổng $7$ số hạng đầu tiên là: $S_7 = \frac{u_1(1 – q^7)}{1 – q} = \frac{6(1 – 2^7)}{1 – 2} = 6 \cdot (128 – 1) = 6 \cdot 127 = 762$.
👉 Đáp số: 762
Bài tập 4: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 7$ và công bội $q = 2$. Biết tổng $n$ số hạng đầu tiên là $S_n = 889$. Tìm số nguyên dương $n$.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có công thức: $S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{7(1 – 2^n)}{1 – 2} = 7(2^n – 1)$.
Theo đề bài: $7(2^n – 1) = 889 \iff 2^n – 1 = 127 \iff 2^n = 128 = 2^7 \iff n = 7$.
👉 Đáp số: 7
Bài tập 5: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ ba $u_3 = 45$ và công bội $q = -3$. Tính giá trị của biểu thức $P = u_1 + S_4$.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ta có: $u_3 = u_1 \cdot q^2 \iff 45 = u_1 \cdot (-3)^2 \iff 45 = 9u_1 \iff u_1 = 5$.
Tổng 4 số hạng đầu: $S_4 = \frac{u_1(1 – q^4)}{1 – q} = \frac{5[1 – (-3)^4]}{1 – (-3)} = \frac{5(1 – 81)}{4} = \frac{5 \cdot (-80)}{4} = -100$.
Vậy giá trị biểu thức: $P = u_1 + S_4 = 5 + (-100) = -95$.
👉 Đáp số: -95
Để lại phản hồi