📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ năm $u_5 = 48$ và công bội $q = 2$. Tính tổng $8$ số hạng đầu tiên $S_8$ của cấp số nhân đó.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thỏa mãn các tính chất nền tảng sau:
- Công thức số hạng tổng quát: $u_n = u_1 imes q^{n-1}$ (với mọi $n \ge 2$). Từ số hạng thứ năm $u_5 = u_1 imes q^4$, ta dễ dàng tìm được số hạng đầu $u_1$.
- Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên: Khi $q \ne 1$, tổng $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ được xác định theo công thức:
$$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1}$$
Tương tự như bài toán tính tổng số hạng cấp số nhân khi biết một số hạng bất kỳ, bước đầu tiên học sinh cần làm là giải phương trình để xác định $u_1$, sau đó áp dụng công thức $S_n$ để có được kết quả chính xác.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm số hạng đầu $u_1$ của cấp số nhân.
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân, ta có:
$$u_5 = u_1 \cdot q^4$$
Thay $u_5 = 48$ và $q = 2$ vào công thức, ta được:
$$48 = u_1 \cdot 2^4 \iff 48 = 16 u_1 \iff u_1 = \frac{48}{16} = 3$$
Bước 2: Tính tổng $8$ số hạng đầu tiên $S_8$.
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân với $n = 8$, $u_1 = 3$, $q = 2$:
$$S_8 = \frac{u_1(q^8 – 1)}{q – 1} = \frac{3 \cdot (2^8 – 1)}{2 – 1}$$
Ta có $2^8 = 256$, do đó:
$$S_8 = 3 \cdot (256 – 1) = 3 \cdot 255 = 765$$
👉 Đáp số (kết quả điền số): 765
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ ba $u_3 = 20$ và công bội $q = 2$. Tính tổng $6$ số hạng đầu tiên $S_6$ của cấp số nhân đó.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $u_3 = u_1 \cdot q^2 \Rightarrow 20 = u_1 \cdot 2^2 \Rightarrow u_1 = 5$.
Tổng $6$ số hạng đầu tiên là: $S_6 = \frac{u_1(q^6 – 1)}{q – 1} = \frac{5 \cdot (2^6 – 1)}{2 – 1} = 5 \cdot (64 – 1) = 5 \cdot 63 = 315$.
👉 Đáp số: 315
Bài tập 2: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ tư $u_4 = -24$ và công bội $q = -2$. Tính tổng $7$ số hạng đầu tiên $S_7$ của cấp số nhân đó.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Dựa trên dạng bài tập của cấp số nhân có công bội âm, ta xác định:
Ta có $u_4 = u_1 \cdot q^3 \Rightarrow -24 = u_1 \cdot (-2)^3 \Rightarrow -24 = -8 u_1 \Rightarrow u_1 = 3$.
Tổng $7$ số hạng đầu tiên là: $S_7 = \frac{u_1(1 – q^7)}{1 – q} = \frac{3 \cdot (1 – (-2)^7)}{1 – (-2)} = \frac{3 \cdot (1 – (-128))}{3} = 1 + 128 = 129$.
👉 Đáp số: 129
Bài tập 3: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ hai $u_2 = 12$ và công bội $q = 3$. Tính số hạng thứ $6$ của cấp số nhân đó.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $u_2 = u_1 \cdot q \Rightarrow 12 = u_1 \cdot 3 \Rightarrow u_1 = 4$.
Số hạng thứ sáu $u_6 = u_1 \cdot q^5 = 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$.
👉 Đáp số: 972
Bài tập 4: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ ba $u_3 = 36$ và số hạng thứ năm $u_5 = 324$, biết các số hạng của cấp số nhân đều dương. Tính tổng $5$ số hạng đầu tiên $S_5$ của cấp số nhân đó.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $\frac{u_5}{u_3} = q^2 \Rightarrow q^2 = \frac{324}{36} = 9$. Do các số hạng đều dương nên $q = 3$.
Số hạng đầu $u_1 = \frac{u_3}{q^2} = \frac{36}{9} = 4$.
Tổng $5$ số hạng đầu tiên là: $S_5 = \frac{u_1(q^5 – 1)}{q – 1} = \frac{4 \cdot (3^5 – 1)}{3 – 1} = \frac{4 \cdot (243 – 1)}{2} = 2 \cdot 242 = 484$.
👉 Đáp số: 484
Bài tập 5: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 5$ và số hạng thứ tư $u_4 = -40$. Tính giá trị của tổng $S_6$ gồm $6$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân này.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Khá giống bài toán tính tổng số hạng cấp số nhân với u1 = 5, trước hết ta tìm công bội:
Ta có $u_4 = u_1 \cdot q^3 \Rightarrow -40 = 5 \cdot q^3 \Rightarrow q^3 = -8 \Rightarrow q = -2$.
Tổng $6$ số hạng đầu là: $S_6 = \frac{u_1(1 – q^6)}{1 – q} = \frac{5 \cdot (1 – (-2)^6)}{1 – (-2)} = \frac{5 \cdot (1 – 64)}{3} = \frac{5 \cdot (-63)}{3} = 5 \cdot (-21) = -105$.
👉 Đáp số: -105
Để lại phản hồi