Một quả bóng cao su được thả rơi tự do từ độ cao $16\text{ m}$ xuống mặt phẳng sàn nằm ngang. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{2}$ độ cao của lần rơi trước đó. Tính tổng quãng đường quả bóng di chuyển được kể từ lúc thả rơi cho đến khi chạm sàn lần thứ $6$ (tính bằng mét)

Ta phân tích quá trình chuyển động của quả bóng qua từng giai đoạn chạm sàn như sau:

Giai đoạn 1: Thả rơi từ độ cao $16\text{ m}$ cho đến khi chạm sàn lần thứ nhất.

Quãng đường bóng đi được là: $s_0 = 16\text{ m}$.

Giai đoạn 2: Từ lần chạm sàn thứ nhất đến khi chạm sàn lần thứ $6$.

Bóng thực hiện $5$ lần nảy lên và rơi xuống sàn tương ứng với các độ cao cực đại $h_1, h_2, h_3, h_4, h_5$:

• Độ cao nảy lên lần $1$: $h_1 = 16 \times \frac{1}{2} = 8\text{ m}$. Quãng đường cả lên và xuống là $2h_1 = 16\text{ m}$ (chạm sàn lần $2$).
• Độ cao nảy lên lần $2$: $h_2 = 8 \times \frac{1}{2} = 4\text{ m}$. Quãng đường cả lên và xuống là $2h_2 = 8\text{ m}$ (chạm sàn lần $3$).
• Độ cao nảy lên lần $3$: $h_3 = 4 \times \frac{1}{2} = 2\text{ m}$. Quãng đường cả lên và xuống là $2h_3 = 4\text{ m}$ (chạm sàn lần $4$).
• Độ cao nảy lên lần $4$: $h_4 = 2 \times \frac{1}{2} = 1\text{ m}$. Quãng đường cả lên và xuống là $2h_4 = 2\text{ m}$ (chạm sàn lần $5$).
• Độ cao nảy lên lần $5$: $h_5 = 1 \times \frac{1}{2} = 0{,}5\text{ m}$. Quãng đường cả lên và xuống là $2h_5 = 1\text{ m}$ (chạm sàn lần $6$).

Dãy số $(h_k)$ với $k = 1, 2, \dots, 5$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $h_1 = 8\text{ m}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$. Tổng độ cao của $5$ lần nảy là:

$$S_5 = h_1 + h_2 + h_3 + h_4 + h_5 = h_1 \cdot \frac{1 – q^5}{1 – q} = 8 \cdot \frac{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^5}{1 – \frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{1 – \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = 16 \cdot \frac{31}{32} = 15{,}5\text{ m}.$$

Tổng quãng đường quả bóng di chuyển kể từ lúc thả rơi đến khi chạm sàn lần thứ $6$ là:

$$\mathcal{S} = s_0 + 2 \cdot S_5 = 16 + 2 \times 15{,}5 = 16 + 31 = 47\text{ m}.$$

👉 Đáp số (kết quả điền số): 47