📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Một công ty viễn thông triển khai lắp đặt các trạm phát sóng. Trong tuần đầu tiên, công ty lắp đặt được $12$ trạm. Kể từ tuần thứ hai trở đi, số lượng trạm lắp đặt được trong mỗi tuần gấp đôi số trạm lắp đặt ở tuần ngay trước đó. Tính tổng số trạm phát sóng công ty đã lắp đặt được sau $8$ tuần.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
1. Định nghĩa cấp số nhân: Dãy số $(u_n)$ được gọi là một cấp số nhân nếu tồn tại hằng số $q$ (gọi là công bội) sao cho $u_{n} = u_{n-1} \cdot q$ với mọi $n \ge 2$.
2. Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên: Tổng $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q \ne 1$ được tính theo công thức: $$S_n = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1} = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$$
Trong các bài toán thực tế như mô hình hóa sự tăng trưởng dân số, phân chia tế bào vi khuẩn hoặc bài toán di chuyển như chuyển động của quả bóng nảy, việc xác định chính xác số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ giúp ta nhanh chóng vận dụng công thức tính tổng tương tự như khi tính tổng các số hạng đầu của cấp số nhân.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Gọi $u_n$ là số trạm phát sóng được lắp đặt trong tuần thứ $n$ ($n \in \mathbb{N}^*$).
Theo giả thiết của bài toán:
- Tuần đầu tiên lắp đặt được $12$ trạm, nên $u_1 = 12$.
- Kể từ tuần thứ hai trở đi, số trạm lắp đặt trong mỗi tuần gấp đôi tuần liền trước, tức là: $$u_n = 2u_{n-1} \quad \forall n \ge 2$$
Do đó, dãy số $(u_n)$ lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 12$ và công bội $q = 2$.
Tổng số trạm phát sóng công ty lắp đặt được sau $8$ tuần chính là tổng của $8$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân này:
$$S_8 = u_1 + u_2 + \dots + u_8 = \frac{u_1(q^8 – 1)}{q – 1}$$Thay số vào công thức ta được:
$$S_8 = \frac{12 \cdot (2^8 – 1)}{2 – 1} = 12 \cdot (256 – 1) = 12 \cdot 255 = 3060$$Vậy sau $8$ tuần, tổng số trạm phát sóng công ty đã lắp đặt được là $3060$ trạm.
👉 Đáp số (kết quả điền số): 3060
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Một xưởng may trong ngày làm việc đầu tiên hoàn thành được $15$ chiếc áo. Kể từ ngày thứ hai trở đi, nhờ tăng cường máy móc hiện đại, mỗi ngày xưởng may đạt năng suất gấp đôi so với ngày làm việc ngay trước đó. Tính tổng số áo xưởng may hoàn thành được sau $7$ ngày liên tiếp.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Số áo mỗi ngày lập thành cấp số nhân với $u_1 = 15$ và công bội $q = 2$.
Tổng số áo sau $7$ ngày là: $$S_7 = \frac{u_1(q^7 – 1)}{q – 1} = \frac{15 \cdot (2^7 – 1)}{2 – 1} = 15 \cdot (128 – 1) = 15 \cdot 127 = 1905$$
👉 Đáp số: 1905
Bài tập 2: Một người tham gia chiến dịch gây quỹ từ thiện. Ngày đầu tiên người đó quyên góp $20$ nghìn đồng. Kể từ ngày thứ hai trở đi, mỗi ngày người đó quyên góp số tiền gấp $3$ lần số tiền của ngày liền trước. Tính tổng số tiền người đó đã đóng góp cho quỹ sau $6$ ngày (đơn vị: nghìn đồng).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Số tiền quyên góp mỗi ngày tạo thành cấp số nhân có $u_1 = 20$ (nghìn đồng) và công bội $q = 3$.
Tổng số tiền sau $6$ ngày quyên góp là: $$S_6 = \frac{u_1(q^6 – 1)}{q – 1} = \frac{20 \cdot (3^6 – 1)}{3 – 1} = 10 \cdot (729 – 1) = 10 \cdot 728 = 7
Để lại phản hồi