📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Một nhà sinh học nuôi cấy một mẻ vi khuẩn trong phòng thí nghiệm. Tại thời điểm bắt đầu quan sát, trong đĩa nuôi cấy có $250$ cá thể vi khuẩn. Trong điều kiện môi trường dinh dưỡng tối ưu, cứ sau mỗi chu kỳ $30$ phút thì số lượng vi khuẩn lại nhân đôi. Giả sử tốc độ phân chia không đổi và không có vi khuẩn nào bị chết trong suốt quá trình. Hỏi sau $4$ giờ kể từ thời điểm ban đầu, trong đĩa nuôi cấy có tất cả bao nhiêu cá thể vi khuẩn?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Bài toán tăng trưởng số lượng theo chu kỳ nhân đôi là một mô hình ứng dụng thực tế của cấp số nhân rất phổ biến trong Sinh học và đời sống:
- Xác định số chu kỳ phân chia: Nếu mỗi chu kỳ kéo dài $T$ phút và tổng thời gian là $t$ phút thì số chu kỳ nhân đôi diễn ra là $$n = \frac{t}{T}$$
- Công thức tính số lượng sau $n$ chu kỳ: Gọi $N_0$ là số lượng cá thể ban đầu. Sau chu kỳ thứ nhất, số lượng là $N_1 = N_0 \cdot q$. Sau chu kỳ thứ hai là $N_2 = N_0 \cdot q^2$. Tổng quát, sau $n$ chu kỳ phân chia với tỉ lệ tăng trưởng $q$ (ở đây $q = 2$), số lượng cá thể đạt được là: $$N_n = N_0 \cdot q^n$$
- Khi cần tính tổng các số hạng của quá trình phát triển tích lũy, ta sử dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu $S_n = u_1 \frac{q^n – 1}{q – 1}$ tương tự như trong bài toán tính quãng đường di chuyển của vật dao động nảy.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính số chu kỳ phân chia
Đổi thời gian nuôi cấy: $4\text{ giờ} = 4 \times 60 = 240\text{ phút}$.
Vì mỗi chu kỳ nhân đôi kéo dài $30$ phút, nên số chu kỳ nhân đôi diễn ra trong $4$ giờ là: $$n = \frac{240}{30} = 8\text{ (chu kỳ)}$$
Bước 2: Lập công thức số lượng cá thể theo cấp số nhân
Gọi $u_n$ là số lượng cá thể vi khuẩn sau chu kỳ thứ $n$.
Ban đầu ($n = 0$), số lượng vi khuẩn là $u_0 = 250$.
Sau mỗi chu kỳ, số lượng vi khuẩn nhân đôi, tức là công bội $q = 2$. Do đó, dãy số $(u_n)$ lập thành một cấp số nhân:
- Sau chu kỳ 1 ($30$ phút): $u_1 = u_0 \cdot 2 = 250 \cdot 2$
- Sau chu kỳ 2 ($60$ phút): $u_2 = u_0 \cdot 2^2$
- …
- Sau chu kỳ $n$: $u_n = u_0 \cdot 2^n$
Bước 3: Tính số lượng vi khuẩn sau 8 chu kỳ
Sau $4$ giờ tương ứng với $n = 8$, số cá thể vi khuẩn là: $$u_8 = 250 \times 2^8 = 250 \times 256 = 64\,000\text{ (cá thể)}$$
👉 Đáp số (kết quả điền số): 64000
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Ban đầu trong một ống nghiệm có $150$ tế bào nấm men. Biết rằng cứ sau mỗi $20$ phút thì số tế bào nấm men lại nhân đôi một lần. Giả sử quá trình sinh trưởng không bị gián đoạn, hỏi sau $2$ giờ số tế bào nấm men trong ống nghiệm là bao nhiêu?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Đổi $2\text{ giờ} = 120\text{ phút}$.
Số chu kỳ nhân đôi: $n = \frac{120}{20} = 6$.
Số lượng tế bào nấm men sau $2$ giờ là: $N = 150 \times 2^6 = 150 \times 64 = 9600$.
👉 Đáp số: 9600
Bài tập 2: Một vận động viên thực hiện kế hoạch luyện tập chạy bộ trong $5$ ngày liên tiếp. Ngày đầu tiên vận động viên chạy được quãng đường $2\text{ km}$. Kể từ ngày thứ hai, mỗi ngày quãng đường chạy được đều gấp đôi quãng đường chạy của ngày liền trước. Tính tổng quãng đường (theo đơn vị kilômét) mà vận động viên đó đã chạy được trong cả $5$ ngày.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Quãng đường chạy mỗi ngày lập thành cấp số nhân với $u_1 = 2\text{ km}$, công bội $q = 2$, số ngày $n = 5$.
Tổng quãng đường là: $$S_5 = u_1 \frac{q^5 – 1}{q – 1} = 2 \times \frac{2^5 – 1}{2 – 1} = 2 \times 31 = 62\text{ (km)}$$
👉 Đáp số: 62
Bài tập 3: Một tờ giấy có độ dày ban đầu là $0{,}1\text{ mm}$. Người ta gấp đôi tờ giấy đó liên tiếp $8$ lần. Giả sử sau mỗi lần gấp đôi, độ dày của thếp giấy tăng gấp đôi. Hỏi sau $8$ lần gấp, độ dày của thếp giấy bằng bao nhiêu milimét?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Sau mỗi lần gấp, bề dày tạo thành cấp số nhân với $u_0 = 0{,}1\text{
Để lại phản hồi