📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Một người tham gia thử thách tiết kiệm trong $10$ tuần. Trong tuần đầu tiên, người đó tiết kiệm được $20\,000$ đồng. Kể từ tuần thứ hai trở đi, số tiền tiết kiệm trong mỗi tuần đều gấp đôi số tiền tiết kiệm ở tuần liền trước. Hỏi sau $10$ tuần, tổng số tiền người đó tiết kiệm được là bao nhiêu nghìn đồng?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
1. Nhận dạng cấp số nhân: Gọi số tiền tiết kiệm ở tuần thứ $n$ là $u_n$ (đơn vị: nghìn đồng). Dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân có:
- Số hạng đầu: $u_1 = 20$ (nghìn đồng).
- Công bội: $q = 2$ (vì mỗi tuần gấp đôi tuần trước).
2. Công thức tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân: $$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1} \quad (với\; q \ne 1)$$ Tương tự như bài toán lắp đặt trạm phát sóng theo tuần, ta áp dụng công thức tổng này với số tuần $n = 10$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Quy đổi đơn vị: $20\,000$ đồng $= 20$ nghìn đồng.
Gọi $u_n$ là số tiền người đó tiết kiệm được ở tuần thứ $n$ ($n \in \mathbb{N}^*$, đơn vị: nghìn đồng).
Theo đề bài:
- Tuần đầu tiên: $u_1 = 20$.
- Kể từ tuần thứ hai trở đi, số tiền tiết kiệm mỗi tuần gấp đôi tuần trước, nghĩa là $u_n = 2u_{n-1}$ với mọi $n \ge 2$.
Tổng số tiền người đó tiết kiệm được sau $10$ tuần chính là tổng của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân này:
$$S_{10} = \sum_{k=1}^{10} u_k = \frac{u_1(q^{10} – 1)}{q – 1}$$Thay các giá trị $u_1 = 20$ và $q = 2$ vào công thức, ta có:
$$S_{10} = \frac{20 \cdot (2^{10} – 1)}{2 – 1} = 20 \cdot (1024 – 1) = 20 \cdot 1023 = 20\,460 \text{ (nghìn đồng)}$$Như vậy, sau $10$ tuần thử thách, tổng số tiền người đó tiết kiệm được là $20\,460$ nghìn đồng (tương đương $20\,460\,000$ đồng).
👉 Đáp số (kết quả điền số): 20460
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Các bài toán tăng trưởng hoặc suy giảm theo cấp số nhân xuất hiện nhiều trong thực tiễn như bài toán mật độ vi khuẩn nhân đôi hay bài toán chuyển động của quả bóng rơi tự do nảy lại. Dưới đây là 5 bài toán tự luyện tương tự:
Bài tập 1: Ban đầu người ta thả $10$ cá thể của một loài thủy sinh quý hiếm vào một hồ nuôi bảo tồn. Cứ sau mỗi năm, số lượng cá thể trong hồ lại tăng gấp $3$ lần số lượng của năm trước đó. Hỏi sau $5$ năm, trong hồ có tất cả bao nhiêu cá thể?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Số lượng cá thể qua các năm tạo thành một cấp số nhân $(u_n)$ với số lượng ban đầu $u_0 = 10$ và công bội $q = 3$.
Sau $5$ năm, số lượng cá thể là:
$$u_5 = u_0 \cdot q^5 = 10 \cdot 3^5 = 10 \cdot 243 = 2430$$👉 Đáp số: 2430
Bài tập 2: Một video âm nhạc đạt $500$ lượt xem trong giờ đầu tiên phát hành. Trong mỗi giờ tiếp theo, số lượt xem mới nhận được đều gấp đôi số lượt xem mới ở giờ ngay trước đó. Tính tổng số lượt xem video nhận được sau $7$ giờ đầu tiên phát hành.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Số lượt xem mỗi giờ lập thành cấp số nhân với $u_1 = 500$ và $q = 2$. Tổng lượt xem sau $7$ giờ là:
$$S_7 = \frac{u_1(q^7 – 1)}{q – 1} = \frac{500 \cdot (2^7 – 1)}{2 – 1} = 500 \cdot (128 –
Để lại phản hồi