Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ ba $u_3 = 18$ và công bội $q = -3$. Tính tổng $7$ số hạng đầu tiên $S_7$ của cấp số nhân đó - Sách Toán - Học Toán

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ ba $u_3 = 18$ và công bội $q = -3$. Tính tổng $7$ số hạng đầu tiên $S_7$ của cấp số nhân đó.

Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số.

Để giải quyết các bài toán về cấp số nhân, ta áp dụng hai công thức cơ bản sau:

Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ (với $n \ge 2$). Từ số hạng đã cho $u_k$, ta có thể xác định số hạng đầu $u_1$ thông qua công thức $u_1 = \frac{u_k}{q^{k-1}}$. Học sinh có thể tham khảo thêm dạng toán tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân để rèn luyện kỹ năng này.
Tổng của $n$ số hạng đầu tiên: Khi $q \ne 1$, tổng $n$ số hạng đầu được tính bởi công thức: $$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$$

Việc kết hợp chính xác hai công thức trên giúp chúng ta dễ dàng tính tổng cấp số nhân dù công bội nhận giá trị âm hay dương.

💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)

Bước 1: Tìm số hạng đầu tiên $u_1$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân cho $n = 3$:

$$u_3 = u_1 \cdot q^{3-1} = u_1 \cdot q^2$$

Thay $u_3 = 18$ và $q = -3$ vào biểu thức:

$$18 = u_1 \cdot (-3)^2 \iff 18 = 9 u_1 \iff u_1 = \frac{18}{9} = 2$$

Bước 2: Tính tổng $7$ số hạng đầu tiên $S_7$.

Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân với $n = 7$, $u_1 = 2$ và $q = -3$:

$$S_7 = \frac{u_1(1 – q^7)}{1 – q} = \frac{2 \cdot \left[1 – (-3)^7\right]}{1 – (-3)}$$

Ta có: $(-3)^7 = -2187$. Do đó:

$$S_7 = \frac{2 \cdot [1 – (-2187)]}{4} = \frac{2 \cdot 2188}{4} = \frac{4376}{4} = 1094$$

👉 Đáp số (kết quả điền số): 1094

Bài tập 1: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ tư $u_4 = -40$ và công bội $q = -2$. Tìm số hạng đầu tiên $u_1$ của cấp số nhân đó.