📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Để thiết kế một biểu trưng hoa văn hình học, một nhóm học sinh vẽ hình vuông $C_1$ có độ dài cạnh bằng $64\text{ cm}$. Tiếp theo, vẽ hình vuông $C_2$ có $4$ đỉnh là trung điểm bốn cạnh của hình vuông $C_1$. Cứ tiếp tục quy trình trên, hình vuông $C_{n+1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông $C_n$ ($n \ge 1$) cho đến hình vuông $C_{10}$. Sau đó, nhóm học sinh tiến hành tô màu trang trí phần mặt phẳng nằm bên trong hình vuông $C_k$ nhưng nằm ngoài hình vuông $C_{k+1}$ đối với tất cả các chỉ số lẻ $k \in \{1; 3; 5; 7; 9\}$. Tính tổng diện tích của tất cả các phần được tô màu theo đơn vị xăng-ti-mét vuông ($\text{cm}^2$).
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Tính chất hình vuông liên tiếp: Khi nối trung điểm $4$ cạnh của một hình vuông có diện tích $S$, ta thu được một hình vuông mới có diện tích bằng $\frac{1}{2}S$.
- Mô hình cấp số nhân: Dãy diện tích các hình vuông $S_n = S(C_n)$ lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu $S_1$ và công bội $q_0 = \frac{1}{2}$.
- Diện tích phần tô màu từng bước: Diện tích phần nằm giữa hình vuông $C_k$ và $C_{k+1}$ là: $$T_k = S(C_k) – S(C_{k+1}) = S(C_k) – \frac{1}{2}S(C_k) = \frac{1}{2}S(C_k)$$
- Tổng các số hạng cấp số nhân: Dãy các diện tích tô màu tương ứng với các chỉ số lẻ $k \in \{1; 3; 5; 7; 9\}$ lập thành một cấp số nhân gồm $n = 5$ số hạng với công bội $q = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$. Tổng của chúng được tính bởi: $$S = \sum_{i=1}^{5} u_i = u_1 \cdot \frac{1 – q^5}{1 – q}$$
Phương pháp này cũng được áp dụng tương tự như trong bài toán phân rã hình học tô màu cấp số nhân và các bài toán tổng quãng đường chuyển động cấp số nhân.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính diện tích của hình vuông đầu tiên $C_1$ và quy luật giảm diện tích.
Hình vuông ban đầu $C_1$ có cạnh $a_1 = 64\text{ cm}$, do đó diện tích là: $$S_1 = S(C_1) = 64^2 = 4096\text{ cm}^2$$
Do hình vuông $C_{n+1}$ có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của hình vuông $C_n$, theo định lý Pythagore hoặc diện tích tam giác vuông ở các góc, ta có: $$S(C_{n+1}) = \frac{1}{2}S(C_n)$$
Bước 2: Xác định diện tích của từng phần được tô màu.
Phần mặt phẳng nằm trong $C_k$ nhưng ngoài $C_{k+1}$ có diện tích là: $$T_k = S(C_k) – S(C_{k+1}) = S(C_k) – \frac{1}{2}S(C_k) = \frac{1}{2}S(C_k)$$
Ta tính diện tích các phần tô màu tương ứng với các chỉ số lẻ $k \in \{1; 3; 5; 7; 9\}$:
- Với $k = 1$: $T_1 = \frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{2} \times 4096 = 2048\text{ cm}^2$.
- Với $k = 3$: Vì $S_3 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 S_1 = \frac{1}{4}S_1$, nên $T_3 = \frac{1}{4}T_1 = \frac{2048}{4} = 512\text{ cm}^2$.
- Với $k = 5$: $T_5 = \frac{1}{4}T_3 = \frac{512}{4} = 128\text{ cm}^2$.
- Với $k = 7$: $T_7 = \frac{1}{4}T_5 = \frac{128}{4} = 32\text{ cm}^2$.
- Với $k = 9$: $T_9 = \frac{1}{4}T_7 = \frac{32}{4} = 8\text{ cm}^2$.
Bước 3: Tính tổng diện tích của tất cả các phần được tô màu.
Dãy số $(T_{2m-1})_{m=1}^5$ lập thành một cấp số nhân gồm $5$ số
Để lại phản hồi