Một tấm gỗ hình tam giác đều có diện tích ban đầu bằng $4096\text{ cm}^2$. Người ta thực hiện sơn màu xanh theo mô hình tam giác Sierpinski: Ở bước 1, nối trung điểm các cạnh để chia thành $4$ tam giác đều bằng nhau và sơn màu xanh tam giác ở chính giữa. Ở mỗi bước tiếp theo, với mỗi tam giác chưa sơn, lại chia thành $4$ tam giác đều nhỏ hơn và sơn màu xanh tam giác ở chính giữa. Sau $6$ bước thực hiện, tổng diện tích các tam giác được sơn màu xanh bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$?

📌 Đề bài (Trả lời ngắn):

Một nghệ nhân chế tạo một bức tranh trang trí theo mô hình hình học tam giác Sierpinski từ một tấm gỗ hình tam giác đều có diện tích ban đầu bằng $4096\text{ cm}^2$.
• Bước 1: Nghệ nhân nối trung điểm các cạnh của tam giác đều ban đầu để chia thành $4$ tam giác đều nhỏ bằng nhau, rồi sơn màu xanh cho tam giác ở chính giữa.
• Bước 2: Với mỗi tam giác trong số $3$ tam giác đều chưa sơn, nghệ nhân lại nối trung điểm các cạnh để chia thành $4$ tam giác đều nhỏ hơn và sơn màu xanh tam giác ở chính giữa.
• Quá trình này được lặp lại liên tục theo cùng quy luật trên cho đến bước thứ $6$.
Tính tổng diện tích phần bề mặt tấm gỗ được sơn màu xanh sau $6$ bước (đơn vị: $\text{cm}^2$).

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm

Giả sử diện tích ban đầu của hình tam giác đều là $S_0$.

• Cách 1 (Tính trực tiếp theo cấp số nhân):
  • Ở bước 1: Sơn $1$ tam giác có diện tích là $u_1 = \frac{1}{4} S_0$.
  • Ở bước 2: Có $3$ tam giác chưa sơn, mỗi tam giác được chia làm $4$ phần và sơn $1$ phần. Do đó, số tam giác được sơn thêm là $3$, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{16}S_0$. Diện tích sơn thêm ở bước 2 là: $u_2 = 3 \times \frac{1}{16}S_0 = \frac{1}{4}S_0 \times \frac{3}{4}$.
  • Ở bước thứ $k$: Diện tích được sơn thêm là $u_k = u_1 \cdot q^{k-1}$ với công bội $q = \frac{3}{4}$.
  • Dãy số $(u_k)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = \frac{1}{4}S_0$ và công bội $q = \frac{3}{4}$.
  Tổng diện tích đã sơn sau $n$ bước là tổng của $n$ số hạng đầu tiên: $$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = u_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = \frac{1}{4}S_0 \cdot \frac{1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n}{1 – \frac{3}{4}} = S_0 \left[1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n\right]$$
• Cách 2 (Sử dụng phần bù):
  Sau mỗi bước, diện tích phần chưa sơn của mỗi tam giác bằng $\frac{3}{4}$ diện tích của nó ở bước trước. Do đó, sau $n$ bước, tổng diện tích phần chưa sơn là $S_{\text{chưa sơn}} = S_0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$.
  Suy ra tổng diện tích đã sơn màu xanh là: $S_{\text{sơn}} = S_0 – S_{\text{chưa sơn}} = S_0 \left[1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n\right]$.

Phương pháp này tương tự dạng bài tô màu tấm bìa hình vuông nhiều bước và bài toán thiết kế biểu trưng hình học qua các hình vuông thu nhỏ.

✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)