📌 Đề bài:
Tính giá trị đúng của biểu thức lượng giác sau:
$$P = \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán tính tích của nhiều hàm số lượng giác, phương pháp nền tảng và trực tiếp nhất là áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng kết hợp các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và mối quan hệ giữa hai góc bù nhau.
- Công thức biến đổi tích thành tổng cơ bản:
$$\sin a \sin b = \frac{1}{2}\left[\cos(a – b) – \cos(a + b)\right]$$
$$\sin a \cos b = \frac{1}{2}\left[\sin(a + b) + \sin(a – b)\right]$$ - Góc liên kết bù nhau: $\sin(180^\circ – x) = \sin x$.
- Giá trị góc đặc biệt: $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$.
Tương tự như kỹ thuật giải bài toán Tính giá trị của biểu thức $P = \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$, ta tiến hành nhóm hai nhân tử đầu tiên để biến đổi, sau đó nhân phân phối với nhân tử còn lại.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Gom nhóm hai thừa số $\sin 50^\circ$ và $\sin 10^\circ$, áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng $\sin a \sin b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a – b) – \cos(a + b)\right]$:
$$\sin 50^\circ \sin 10^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos(50^\circ – 10^\circ) – \cos(50^\circ + 10^\circ)\right] = \frac{1}{2}\left(\cos 40^\circ – \cos 60^\circ\right)$$
Biết rằng $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$, ta có:
$$\sin 50^\circ \sin 10^\circ = \frac{1}{2}\left(\cos 40^\circ – \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\cos 40^\circ – \frac{1}{4}$$
Bước 2: Thay kết quả vừa tìm được vào biểu thức ban đầu $P$:
$$P = \left(\frac{1}{2}\cos 40^\circ – \frac{1}{4}\right) \sin 70^\circ = \frac{1}{2}\sin 70^\circ \cos 40^\circ – \frac{1}{4}\sin 70^\circ$$
Bước 3: Tiếp tục áp dụng công thức tích thành tổng cho $\sin 70^\circ \cos 40^\circ$:
$$\sin 70^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}\left[\sin(70^\circ + 40^\circ) + \sin(70^\circ – 40^\circ)\right] = \frac{1}{2}\left(\sin 110^\circ + \sin 30^\circ\right)$$
Do $\sin 110^\circ = \sin(180^\circ – 70^\circ) = \sin 70^\circ$ và $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, nên:
$$\sin 70^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}\left(\sin 70^\circ + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\sin 70^\circ + \frac{1}{4}$$
Bước 4: Thay trở lại vào biểu thức $P$:
$$P = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin 70^\circ + \frac{1}{4}\right) – \frac{1}{4}\sin 70^\circ = \frac{1}{4}\sin 70^\circ + \frac{1}{8} – \frac{1}{4}\sin 70^\circ = \frac{1}{8}$$
👉 Kết luận: Giá trị của biểu thức là $P = \dfrac{1}{8}$. Chọn đáp án B.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức $A = \cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Biến đổi tích thành tổng:
$$\cos 50^\circ \cos 10^\circ = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ + \cos 40^\circ) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 40^\circ$$
Do đó:
$$A = \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 40^\circ\right)\cos 70^\circ = \frac{1}{4}\cos 70^\circ + \frac{1}{2}\cos 40^\circ \cos 70^\circ$$
$$= \frac{1}{4}\cos 70^\circ + \frac{1}{4}(\cos 110^\circ + \cos 30^\circ)$$
Vì $\cos 110^\circ = -\cos 70^\circ$ và $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra:
$$A = \frac{1}{4}\cos 70^\circ – \frac{1}{4}\cos 70^\circ + \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{8}$$
Đáp số: $A = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$.
Bài tập 2: Tính giá trị của biểu thức $B = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta có: $\cos 40^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ + \cos 20^\circ) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 20^\circ$.
Nhân với $\cos 80^\circ$:
$$B = \frac{1}{4}\cos 80^\circ + \frac{1}{2}\cos 80^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{4}\cos 80^\circ + \frac{1}{4}(\cos 100^\circ + \cos 60^\circ)$$
Vì $\cos 100^\circ = -\cos 80^\circ$ nên $B = \frac{1}{4}\cos 80^\circ – \frac{1}{4}\cos 80^\circ + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$. Bạn có thể tham khảo thêm tại bài viết Tính giá trị của biểu thức $P = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$.
Đáp số: $B = \dfrac{1}{8}$.
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức $C = \sin(x + 30^\circ)\sin(x – 30^\circ) + \frac{1}{2}\cos 2x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng:
$$\sin(x + 30^\circ)\sin(x – 30^\circ) = \frac{1}{2}\left[\cos 60^\circ – \cos 2x\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} – \cos 2x\right) = \frac{1}{4} – \frac{1}{2}\cos 2x$$
Thay vào biểu thức $C$:
$$C = \left(\frac{1}{4} – \frac{1}{2}\cos 2x\right) + \frac{1}{2}\cos 2x = \frac{1}{4}$$
Đáp số: $C = \dfrac{1}{4}$ (không phụ thuộc vào $x$).
Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức $D = \tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Biểu diễn dưới dạng thương của hai tích:
$$D = \frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}$$
Theo kết quả của các công thức biến đổi lượng giác:
$$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8} \quad \text{và} \quad \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$$
Suy ra: $D = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{1}{8}} = \sqrt{3}$.
Đáp số: $D = \sqrt{3}$.
Bài tập 5: Rút gọn và tính giá trị biểu thức $E = 4\cos 20^\circ \cos 40^\circ – 2\cos 20^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Áp dụng biến đổi tích thành tổng cho $4\cos 40^\circ \cos 20^\circ$:
$$4\cos 40^\circ \cos 20^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2}(\cos 60^\circ + \cos 20^\circ) = 2\left(\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right) = 1 + 2\cos 20^\circ$$
Do đó:
$$E = (1 + 2\cos 20^\circ) – 2\cos 20^\circ = 1$$
(Các dạng toán biến đổi tương tự có thể xem thêm ở chuyên đề Tính giá trị của biểu thức lượng giác $P = \frac{1}{\sin 10^\circ} – \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ}$).
Đáp số: $E = 1$.
Để lại phản hồi