📌 Đề bài:
Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ và $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Hãy tính các giá trị lượng giác $\sin \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha$ và tính giá trị của biểu thức: $$P = \frac{\sin \alpha + 2\cos \alpha}{\tan \alpha - \cot \alpha}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Trong chương trình Toán học phổ thông (đặc biệt là chương Lượng giác trong Sách Giáo Khoa lớp 11), dạng toán xác định các giá trị lượng giác khi biết trước một giá trị lượng giác của một cung được giải quyết theo các bước nền tảng:
- Hằng đẳng thức cơ bản: Áp dụng $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha$.
- Xét dấu giá trị lượng giác: Dựa vào khoảng xác định của góc $\alpha$ trên đường tròn lượng giác để chọn dấu đúng:
- Góc phần tư thứ I ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $\sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0, \tan \alpha > 0, \cot \alpha > 0$.
- Góc phần tư thứ II ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $\sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0, \tan \alpha < 0, \cot \alpha < 0$.
- Góc phần tư thứ III ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $\sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0, \tan \alpha > 0, \cot \alpha > 0$.
- Góc phần tư thứ IV ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $\sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0, \tan \alpha < 0, \cot \alpha < 0$.
- Tính $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$: Dùng định nghĩa $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Tương tự như khi công thức lượng giác cơ bản được áp dụng, ta thay số cẩn thận vào biểu thức cần tính.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính giá trị $\sin \alpha$
Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản giữa $\sin$ và $\cos$:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha$$
Thay số $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$, ta có:
$$\sin^2 \alpha = 1 – \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 – \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$
Vì $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (điểm biểu diễn của góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III), nên $\sin \alpha < 0$. Do đó: $$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$
Bước 2: Tính $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$
Theo công thức định nghĩa:
$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$$
$$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{4}{3}$$
Bước 3: Tính giá trị của biểu thức $P$
Thay các giá trị vừa tìm được vào biểu thức $P$:
• Tính tử số của $P$:
$$\text{Tử số} = \sin \alpha + 2\cos \alpha = -\frac{3}{5} + 2\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5} – \frac{8}{5} = -\frac{11}{5}$$
• Tính mẫu số của $P$:
$$\text{Mẫu số} = \tan \alpha – \cot \alpha = \frac{3}{4} – \frac{4}{3} = \frac{9 – 16}{12} = -\frac{7}{12}$$
• Do đó, giá trị của biểu thức $P$ là:
$$P = \frac{-\frac{11}{5}}{-\frac{7}{12}} = \left(-\frac{11}{5}\right) \cdot \left(-\frac{12}{7}\right) = \frac{132}{35}$$
👉 Kết luận: $\sin \alpha = -\frac{3}{5},\, \tan \alpha = \frac{3}{4},\, \cot \alpha = \frac{4}{3}$ và $P = \frac{132}{35}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính các giá trị lượng giác $\cos \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $\cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha = 1 – \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169}$.
Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha < 0 \implies \cos \alpha = -\frac{12}{13}$.
Từ đó suy ra $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{5}{12}$ và $\cot \alpha = -\frac{12}{5}$.
Bài tập 2: Cho $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ với $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$. Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{\sin \alpha + \tan \alpha}{\cos \alpha + \cot \alpha}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Vì $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$ (góc phần tư thứ IV) nên $\sin \alpha < 0$.
$\sin \alpha = -\sqrt{1 – \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 – \frac{1}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -2\sqrt{2}$ và $\cot \alpha = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.
Tử số: $\sin \alpha + \tan \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} – 2\sqrt{2} = -\frac{8\sqrt{2}}{3}$.
Mẫu số: $\cos \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{3} – \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{4 – 3\sqrt{2}}{12}$.
Suy ra: $A = \frac{-\frac{8\sqrt{2}}{3}}{\frac{4 – 3\sqrt{2}}{12}} = \frac{-32\sqrt{2}}{4 – 3\sqrt{2}} = \frac{32\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-4} = 48 + 32\sqrt{2}$.
Bài tập 3: Cho $\sin \alpha = -\frac{2}{3}$ với $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Tính giá trị biểu thức $B = \frac{3\sin \alpha - 2\cos \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Vì $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ nên $\cos \alpha < 0$. Do đó $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$.
$\tan \alpha = \frac{-2/3}{-\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}} \implies \tan^2 \alpha = \frac{4}{5}$.
Tử số: $3\sin \alpha – 2\cos \alpha = 3\left(-\frac{2}{3}\right) – 2\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = -2 + \frac{2\sqrt{5}}{3} = \frac{2\sqrt{5}-6}{3}$.
Mẫu số: $1 – \tan^2 \alpha = 1 – \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
Suy ra: $B = \frac{\frac{2\sqrt{5}-6}{3}}{\frac{1}{5}} = \frac{10\sqrt{5} – 30}{3}$.
Bài tập 4: Cho $\tan \alpha = -2$ với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính các giá trị lượng giác $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Áp dụng công thức $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies 1 + (-2)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies \cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$.
Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha < 0 \implies \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Từ $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \implies \sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = (-2) \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Bài tập 5: Cho $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$ với $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Tính giá trị biểu thức $M = \frac{5\sin \alpha - 13\cos \alpha}{26\sin \alpha + 12\tan \alpha}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Vì $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ nên $\sin \alpha < 0 \implies \sin \alpha = -\sqrt{1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2} = -\frac{5}{13}$.
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-5/13}{-12/13} = \frac{5}{12}$.
Tử số: $5\left(-\frac{5}{13}\right) – 13\left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{25}{13} + 12 = \frac{131}{13}$.
Mẫu số: $26\left(-\frac{5}{13}\right) + 12\left(\frac{5}{12}\right) = -10 + 5 = -5$.
Vậy $M = \frac{131/13}{-5} = -\frac{131}{65}$. Việc rèn luyện thuần thục kỹ năng này cũng hỗ trợ rất tốt khi giải các bài toán rút gọn biểu thức lượng giác phức tạp hơn.
Để lại phản hồi