📌 Đề bài:
Một chiếc đồng hồ treo tường có kim phút dài $r = 12\text{ cm}$.
a) Tính số đo góc lượng giác (theo đơn vị radian) mà kim phút quét được trong khoảng thời gian từ $7\text{ giờ } 10\text{ phút}$ đến $7\text{ giờ } 45\text{ phút}$.
b) Tính quãng đường (độ dài cung tròn) mà điểm đầu mút của kim phút vạch nên trong khoảng thời gian trên (lấy kết quả chính xác theo $\pi$ và làm tròn đến hai chữ số thập phân).
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Quy ước chiều quay: Trong hệ trục tọa độ lượng giác, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ mang dấu âm ($-$), chiều ngược chiều kim đồng hồ mang dấu dương ($+$). Khi học các kiến thức thuộc Sách Giáo Khoa lớp 11, học sinh cần đặc biệt chú ý dấu của góc lượng giác.
- Tốc độ quay của kim phút: Trong $60\text{ phút}$ ($1\text{ giờ}$), kim phút quay đúng một vòng tròn theo chiều âm, tương ứng góc lượng giác là $-2\pi\text{ rad}$.
$$\omega = \frac{-2\pi}{60} = -\frac{\pi}{30}\text{ (rad/phút)}$$ - Góc quét sau thời gian $\Delta t$: $\alpha = \omega \cdot \Delta t = -\frac{\pi}{30} \cdot \Delta t\text{ (rad)}$.
- Công thức tính độ dài cung tròn: Quãng đường di chuyển của đầu mút kim phút được tính theo công thức độ dài cung lượng giác $l = |\alpha| \cdot r$, trong đó $r$ là bán kính (chiều dài kim phút) và $\alpha$ tính bằng radian. Bạn có thể tham khảo thêm phương pháp giải bài toán thực tế về độ dài cung lượng giác để nắm vững dạng toán này.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính khoảng thời gian chuyển động của kim phút
Thời gian trôi qua từ $7\text{ giờ } 10\text{ phút}$ đến $7\text{ giờ } 45\text{ phút}$ là:
$$\Delta t = 45 – 10 = 35\text{ phút}$$
Bước 2: Xác định góc lượng giác mà kim phút đã quét
Kim phút quay cùng chiều kim đồng hồ nên góc lượng giác mang dấu âm. Trong $60\text{ phút}$, kim phút quét được một góc $-2\pi\text{ rad}$.
Do đó, trong $35\text{ phút}$, góc lượng giác mà kim phút quét được là:
$$\alpha = 35 \times \left(-\frac{2\pi}{60}\right) = 35 \times \left(-\frac{\pi}{30}\right) = -\frac{7\pi}{6}\text{ rad}$$
Bước 3: Tính quãng đường đầu mút kim phút vạch nên
Bán kính đường tròn chuyển động của đầu mút kim phút chính là độ dài của kim: $r = 12\text{ cm}$.
Quãng đường đầu mút kim phút vạch nên chính là độ dài cung tròn ứng với góc ở tâm có độ lớn $|\alpha| = \frac{7\pi}{6}\text{ rad}$:
$$l = |\alpha| \cdot r = \frac{7\pi}{6} \cdot 12 = 14\pi\text{ cm} \approx 43{,}98\text{ cm}$$
👉 Kết luận / Đáp án:
a) Góc lượng giác kim phút quét được là $\alpha = -\frac{7\pi}{6}\text{ rad}$ (hoặc $-210^\circ$).
b) Quãng đường đầu mút kim phút di chuyển được là $l = 14\pi\text{ cm} \approx 43{,}98\text{ cm}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Một kim giờ của đồng hồ có chiều dài $8\text{ cm}$. Tính góc lượng giác mà kim giờ quét được từ $3\text{ giờ}$ đến $8\text{ giờ}$ và quãng đường đầu mút kim giờ vạch nên.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– Trong $12\text{ giờ}$, kim giờ quay một góc $-2\pi\text{ rad}$. Do đó tốc độ góc của kim giờ là $-\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}\text{ rad/h}$.
– Góc lượng giác quét được: $\alpha = 5 \times \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{5\pi}{6}\text{ rad}$.
– Quãng đường đầu mút kim giờ vạch nên: $l = |\alpha| \cdot r = \frac{5\pi}{6} \times 8 = \frac{20\pi}{3}\text{ cm} \approx 20{,}94\text{ cm}$.
Bài tập 2: Một ròng rọc có bán kính $R = 10\text{ cm}$ quay đều ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ $45\text{ vòng/phút}$. Tính góc lượng giác ròng rọc quay được trong $4\text{ giây}$ và chiều dài sợi dây bị cuốn vào ròng rọc trong thời gian đó.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– Góc lượng giác quay trong $4\text{ giây}$: $\alpha = \omega \cdot t = 1{,}5\pi \times 4 = 6\pi\text{ rad}$.
– Chiều dài dây cuốn vào ròng rọc: $s = \alpha \cdot R = 6\pi \times 10 = 60\pi\text{ cm} \approx 188{,}50\text{ cm}$.
Bài tập 3: Một cánh quạt trần có chiều dài bán kính quay $60\text{ cm}$ quay đều với tần số $150\text{ vòng/phút}$ theo chiều thuận chiều kim đồng hồ. Tính góc lượng giác cánh quạt quét được sau $6\text{ giây}$ và tốc độ dài của một điểm ở đầu mút cánh quạt.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– Góc lượng giác quét được trong $6\text{ giây}$: $\alpha = \omega \cdot t = -5\pi \times 6 = -30\pi\text{ rad}$.
– Tốc độ dài của đầu mút cánh quạt: $v = |\omega| \cdot r = 5\pi \times 0{,}6\text{ m} = 3\pi\text{ m/s} \approx 9{,}42\text{ m/s}$. Tương tự như trong bài toán chuyển động quay đều của bánh xe đạp.
Bài tập 4: Một vệ tinh địa tĩnh chuyển động tròn đều quanh Trái Đất ở độ cao $36\,000\text{ km}$ so với mặt đất (bán kính Trái Đất xem như $R_0 = 6\,400\text{ km}$). Biết vệ tinh quay một vòng quanh Trái Đất cùng chiều quay Trái Đất hết đúng $24\text{ giờ}$. Tính quãng đường vệ tinh di chuyển được trong $3\text{ giờ}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– Góc quét trong $3\text{ giờ}$: $\alpha = 3 \times \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$.
– Quãng đường vệ tinh di chuyển: $s = \alpha \cdot R = \frac{\pi}{4} \times 42\,400 = 10\,600\pi\text{ km} \approx 33\,300{,}88\text{ km}$.
Bài tập 5: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo $l = 80\text{ cm}$ dao động với góc lệch cực đại sang hai bên là $\alpha_0 = 9^\circ$. Tính độ dài cung tròn mà quả nặng con lắc vạch ra khi đi từ vị trí biên này sang vị trí biên đối diện.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– Đổi sang radian: $\Delta \alpha = 18 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{10}\text{ rad}$.
– Độ dài cung tròn con lắc vạch ra: $s = \Delta \alpha \cdot l = \frac{\pi}{10} \times 80 = 8\pi\text{ cm} \approx 25{,}13\text{ cm}$.
Để lại phản hồi