📌 Đề bài:
Một vòng đu quay hình tròn có bán kính $R = 30\text{ m}$, tâm $I$ của đu quay đặt ở độ cao $35\text{ m}$ so với mặt đất. Đu quay quay đều ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương lượng giác) với chu kì $T = 12\text{ phút}$. Giả sử một người bước vào cabin ở vị trí thấp nhất $A$ (cách mặt đất $5\text{ m}$) tại thời điểm ban đầu $t = 0$. Hãy xác định:
a) Góc lượng giác $\alpha$ (theo đơn vị radian) mà cabin đã quay được sau thời gian $t = 4\text{ phút}$.
b) Độ cao $h$ của cabin người đó so với mặt đất tại thời điểm $t = 4\text{ phút}$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán thực tế về góc lượng giác trong chương trình Sách Giáo Khoa lớp 11, ta vận dụng các kiến thức cốt lõi:
- Tốc độ góc (vận tốc góc): $\omega = \frac{2\pi}{T}$ $(\text{rad/đơn vị thời gian})$, trong đó $T$ là chu kì quay hết 1 vòng trọn vẹn ($2\pi\text{ rad}$).
- Góc lượng giác quét được: $\alpha = \omega \cdot t = \frac{2\pi}{T} \cdot t$ $(\text{rad})$.
- Mô hình hóa hình học để tính độ cao: Chọn hệ trục tọa độ hoặc xét hình chiếu vuông góc của cabin lên trục thẳng đứng đi qua tâm $I$. Khi cabin quay góc $\alpha$ từ vị trí thấp nhất, hình chiếu của bán kính lên trục thẳng đứng là $d = R\cos(\pi – \alpha) = -R\cos\alpha$, từ đó độ cao so với mặt đất là $h = h_I – R\cos\alpha = (R + h_0) – R\cos\alpha$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
a) Tính góc lượng giác mà cabin quay được sau $4\text{ phút}$
Vận tốc góc của đu quay là:
$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\text{ (rad/phút)}$$
Sau thời gian $t = 4\text{ phút}$, góc lượng giác mà cabin quay được kể từ vị trí ban đầu là:
$$\alpha = \omega \cdot t = \frac{\pi}{6} \cdot 4 = \frac{2\pi}{3}\text{ rad}$$
b) Tính độ cao $h$ của cabin so với mặt đất tại thời điểm $t = 4\text{ phút}$
Gọi $I$ là tâm của vòng đu quay. Độ cao của tâm $I$ so với mặt đất là $h_I = 35\text{ m}$.
Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, cabin ở vị trí thấp nhất $A$, vecto $\vec{IA}$ hướng thẳng đứng xuống dưới.
Sau $4\text{ phút}$, bán kính cabin quay đến vị trí $M$ sao cho góc quay $(\vec{IA}, \vec{IM}) = \alpha = \frac{2\pi}{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng đứng đi qua tâm $I$. Khi đó, khoảng cách có hướng từ tâm $I$ đến $H$ theo phương thẳng đứng là:
$$\overline{IH} = -R\cos\alpha = -30\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 15\text{ m}$$
Do $\overline{IH} > 0$ nên điểm $H$ nằm phía trên tâm $I$. Độ cao của cabin lúc này so với mặt đất là:
$$h = h_I + \overline{IH} = 35 + 15 = 50\text{ m}$$
👉 Kết luận: Góc quay $\alpha = \frac{2\pi}{3}\text{ rad}$; Độ cao của cabin sau $4\text{ phút}$ là $h = 50\text{ m}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Kim phút của một đồng hồ có chiều dài $12\text{ cm}$. Hỏi trong khoảng thời gian từ $8\text{ giờ }00\text{ phút}$ đến $8\text{ giờ }40\text{ phút}$, kim phút quét được một góc lượng giác có số đo bao nhiêu radian và đầu mút kim phút đi được quãng đường dài bao nhiêu?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Kim đồng hồ quay theo chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ) với vận tốc $-2\pi\text{ rad/giờ}$.
Góc lượng giác quét được là: $\alpha = -2\pi \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4\pi}{3}\text{ rad}$ (hoặc độ lớn góc quay là $\frac{4\pi}{3}\text{ rad}$).
Quãng đường đầu mút đi được là: $s = R|\alpha| = 12 \cdot \frac{4\pi}{3} = 16\pi \approx 50{,}27\text{ cm}$.
Đáp số: $\alpha = -\frac{4\pi}{3}\text{ rad}$; $s = 16\pi\text{ cm}$.
Bài tập 2: Tương tự như bài toán chuyển động quay của bánh xe, một ròng rọc có bán kính $r = 10\text{ cm}$ kéo một vật nặng chuyển động tịnh tiến lên trên. Để nâng vật lên cao $25\pi\text{ cm}$, ròng rọc phải quay một góc lượng giác có số đo bao nhiêu?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Áp dụng công thức độ dài cung $s = r\alpha$, ta có số đo góc quay:
$$\alpha = \frac{s}{r} = \frac{25\pi}{10} = 2{,}5\pi = \frac{5\pi}{2}\text{ rad}$$
Số vòng ròng rọc quay được là: $N = \frac{\alpha}{2\pi} = \frac{2{,}5\pi}{2\pi} = 1{,}25\text{ vòng}$.
Đáp số: $\alpha = \frac{5\pi}{2}\text{ rad}$ (tương ứng $1{,}25\text{ vòng}$).
Bài tập 3: Một đu quay có đường kính $40\text{ m}$, điểm thấp nhất cách mặt đất $2\text{ m}$. Đu quay quay với tốc độ không đổi $1\text{ vòng}$ mất $8\text{ phút}$. Giả sử người chơi bắt đầu tại điểm thấp nhất ở $t = 0$. Thiết lập công thức tính độ cao $h(t)$ (theo mét) của người đó so với mặt đất tại thời điểm $t$ (phút).
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Độ cao tâm đu quay: $h_I = 2 + 20 = 22\text{ m}$.
Tốc độ góc: $\omega = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}\text{ rad/phút}$.
Sau $t$ phút, góc quay từ vị trí thấp nhất là $\alpha = \frac{\pi}{4}t$.
Hình chiếu theo phương đứng từ tâm là $-R\cos\alpha = -20\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)$.
Vậy công thức độ cao là: $h(t) = 22 – 20\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)\text{ (m)}$.
Đáp số: $h(t) = 22 – 20\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)$.
Bài tập 4: Một vệ tinh địa tĩnh quay quanh Trái Đất theo quỹ đạo tròn ở độ cao $35\,786\text{ km}$ so với bề mặt Trái Đất. Bán kính Trái Đất xấp xỉ $6\,400\text{ km}$. Tính quãng đường vệ tinh di chuyển được khi nó quay quanh tâm Trái Đất một góc lượng giác bằng $\frac{\pi}{4}\text{ rad}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Góc lượng giác: $\alpha = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$.
Quãng đường vệ tinh di chuyển: $s = R\alpha = 42\,186 \cdot \frac{\pi}{4} \approx 33\,132{,}5\text{ km}$.
Đáp số: $s \approx 33\,132{,}5\text{ km}$.
Bài tập 5: Hai kim giờ và kim phút của đồng hồ trùng nhau tại thời điểm đúng $12\text{ giờ}$. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim phút tạo với kim giờ một góc lượng giác có số đo bằng $\frac{\pi}{2}\text{ rad}$ lần đầu tiên?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Vận tốc góc của kim giờ: $\omega_g = \frac{2\pi}{720} = \frac{\pi}{360}\text{ rad/phút}$.
Hiệu vận tốc góc: $\Delta\omega = \omega_p – \omega_g = \frac{\pi}{30} – \frac{\pi}{360} = \frac{11\pi}{360}\text{ rad/phút}$.
Để kim phút vượt kim giờ một góc $\frac{\pi}{2}\text{ rad}$, thời gian cần tìm là:
$$t = \frac{\frac{\pi}{2}}{\Delta\omega} = \frac{\pi/2}{11\pi/360} = \frac{180}{11}\text{ phút} \approx 16\text{ phút }21{,}8\text{ giây}$$
Đáp số: $t = \frac{180}{11}\text{ phút}$.
Để lại phản hồi