📌 Đề bài:
Một thiết bị tời sử dụng ròng rọc hình tròn có bán kính $R = 20\text{ cm}$ để nâng một kiện hàng từ mặt đất lên cao. Ròng rọc quay đều ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ $45\text{ vòng/phút}$. Dây cáp cuốn vào ròng rọc không bị trượt và độ dày dây cáp không đáng kể.
a) Tính số đo góc lượng giác $\alpha$ (theo radian) mà ròng rọc quay được sau $t = 8\text{ giây}$.
b) Tính độ cao $h$ (theo mét) mà kiện hàng được kéo lên sau $8\text{ giây}$ chuyển động (lấy $\pi \approx 3{,}1416$, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Bài toán áp dụng các kiến thức nền tảng trong chương trình Sách Giáo Khoa lớp 11 về góc lượng giác và cung lượng giác:
- Quy ước dấu của góc lượng giác: Chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương ($+$), chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm ($-$).
- Mỗi vòng quay: Tương ứng với một góc lượng giác có độ lớn là $2\pi\text{ rad}$ (hoặc $360^\circ$).
- Tốc độ góc: $\omega = \frac{N \cdot 2\pi}{60} \text{ (rad/s)}$, với $N$ là số vòng quay trong một phút.
- Góc lượng giác quét được sau thời gian $t$: $\alpha = \omega \cdot t$ (rad).
- Độ dài cung tròn (quãng đường cuộn dây / độ cao nâng kiện hàng): Khi dây không trượt, độ cao $h$ nâng lên chính bằng độ dài cung $l$ mà ròng rọc đã cuộn được: $$l = |\alpha| \cdot R$$ (trong đó $R$ là bán kính của ròng rọc, $\alpha$ tính bằng radian). Tương tự như trong bài toán về chuyển động quay của cánh quạt tuabin gió hay bài toán thực tế về độ dài cung lượng giác.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính tốc độ góc của ròng rọc
Ròng rọc quay với tốc độ $45\text{ vòng/phút}$. Do đó, số vòng quay được trong $1\text{ giây}$ là:
$$n = \frac{45}{60} = 0{,}75 \text{ (vòng/giây)}$$
Vì ròng rọc quay ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương quy ước), tốc độ góc của ròng rọc là:
$$\omega = 0{,}75 \times 2\pi = 1{,}5\pi \text{ (rad/s)}$$
Bước 2: Xác định góc lượng giác quét được sau $8\text{ giây}$
Sau thời gian $t = 8\text{ s}$, số đo góc lượng giác mà ròng rọc quay được là:
$$\alpha = \omega \cdot t = 1{,}5\pi \cdot 8 = 12\pi \text{ (rad)}$$
Bước 3: Tính độ cao mà kiện hàng được nâng lên
Đổi bán kính ròng rọc: $R = 20\text{ cm} = 0{,}2\text{ m}$.
Độ dài đoạn dây cáp cuộn quanh ròng rọc sau $8\text{ giây}$ chính là độ dài cung tròn mà ròng rọc quay được, đồng thời là độ cao $h$ kiện hàng được nâng lên:
$$h = l = |\alpha| \cdot R = 12\pi \cdot 0{,}2 = 2{,}4\pi \text{ (m)}$$
Thay $\pi \approx 3{,}1416$, ta được:
$$h \approx 2{,}4 \times 3{,}1416 = 7{,}53984 \text{ m} \approx 7{,}54\text{ m}$$
👉 Kết luận:
a) Số đo góc lượng giác ròng rọc quay được là: $\alpha = 12\pi\text{ rad}$.
b) Kiện hàng được kéo lên một độ cao là: $h = 2{,}4\pi\text{ m} \approx 7{,}54\text{ m}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Một đĩa tròn có bán kính $R = 15\text{ cm}$ quay đều cùng chiều kim đồng hồ với tốc độ $180\text{ vòng/phút}$. Tính góc lượng giác (theo rad) mà một điểm trên vành đĩa quét được trong $4\text{ giây}$ và độ dài cung tròn điểm đó đã vạch ra.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– Tốc độ quay: $\frac{180}{60} = 3\text{ vòng/s} \Rightarrow \omega = -3 \times 2\pi = -6\pi\text{ rad/s}$.
– Góc lượng giác sau $4\text{ s}$: $\alpha = \omega \cdot t = -6\pi \times 4 = -24\pi\text{ rad}$.
– Độ dài cung vạch ra: $s = |\alpha| \cdot R = 24\pi \times 15 = 360\pi\text{ cm} \approx 1130{,}97\text{ cm} \approx 11{,}31\text{ m}$.
Bài tập 2: Một kim giờ của đồng hồ treo tường có chiều dài $9\text{ cm}$. Tính góc lượng giác mà kim giờ quét được từ $2\text{ giờ } 00\text{ phút}$ đến $6\text{ giờ } 30\text{ phút}$ cùng ngày và quãng đường đầu mút kim giờ đi được.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– Kim giờ quay theo chiều kim đồng hồ (chiều âm), $12\text{ giờ}$ quay được $-2\pi\text{ rad} \Rightarrow$ Tốc độ quét $\omega = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}\text{ rad/h}$.
– Góc lượng giác: $\alpha = -\frac{\pi}{6} \times 4{,}5 = -\frac{3\pi}{4}\text{ rad}$.
– Quãng đường đầu mút kim đi được: $s = |\alpha| \cdot R = \frac{3\pi}{4} \times 9 = \frac{27\pi}{4}\text{ cm} \approx 21{,}21\text{ cm}$.
Bài tập 3: Vệ tinh nhân tạo chuyển động tròn đều quanh Trái Đất ở độ cao $600\text{ km}$. Bán kính Trái Đất là $6400\text{ km}$. Vệ tinh quay theo chiều dương quanh tâm Trái Đất hết đúng $98\text{ phút}$ một vòng. Tính góc lượng giác vệ tinh quét được sau $49\text{ phút}$ và quãng đường vệ tinh di chuyển trong thời gian đó.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– Chu kì $T = 98\text{ phút}$. Sau $49\text{ phút}$ (nửa chu kì), góc lượng giác: $\alpha = \frac{49}{98} \times 2\pi = \pi\text{ rad}$.
– Quãng đường đi được: $s = \alpha \cdot R = \pi \times 7000 = 7000\pi \approx 21991{,}15\text{ km}$.
Bài tập 4: Một bánh đà động cơ có đường kính $60\text{ cm}$ quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ $600\text{ vòng/phút}$. Tính vận tốc dài (theo $\text{m/s}$) của một điểm nằm trên vành ngoài bánh đà.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– Tốc độ góc: $\omega = \frac{600}{60} \times 2\pi = 20\pi\text{ rad/s}$.
– Vận tốc dài: $v = \omega \cdot R = 20\pi \times 0{,}3 = 6\pi\text{ m/s} \approx 18{,}85\text{ m/s}$.
Bài tập 5: Một trục máy hình trụ có bán kính $5\text{ cm}$ cuốn một sợi dây thừng. Để kéo một thùng nước từ đáy giếng sâu $15\text{ m}$ lên trên, trục máy phải quay thuận một góc lượng giác bằng bao nhiêu radian (lấy $\pi \approx 3{,}14$)?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– Độ lớn góc quay: $|\alpha| = \frac{l}{R} = \frac{1500}{5} = 300\text{ rad}$.
– Số vòng quay tương ứng: $N = \frac{300}{2\pi} = \frac{150}{\pi} \approx 47{,}75\text{ vòng}$.
– Kết luận: Trục máy cần quay một góc $300\text{ rad}$ (hoặc xấp xỉ $47{,}75\text{ vòng}$).
Để lại phản hồi