Cho $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính các giá trị lượng giác $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$ và giá trị biểu thức $M = \frac{2\tan \alpha - \cos \alpha}{1 + \sin \alpha \cot \alpha}$

a) Tính các giá trị lượng giác còn lại của $\alpha$:

Áp dụng công thức cơ bản $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta có:
$$\cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha = 1 – \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 – \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$

Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II) nên $\cos \alpha < 0$. Do đó: $$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$$

Từ đây ta tính được $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$:
$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12}$$
$$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{12}{5}$$

b) Tính giá trị của biểu thức $M$:

Biểu thức cần tính:
$$M = \frac{2\tan \alpha – \cos \alpha}{1 + \sin \alpha \cot \alpha}$$

Thay các giá trị $\sin \alpha = \frac{5}{13}$, $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$, $\tan \alpha = -\frac{5}{12}$, $\cot \alpha = -\frac{12}{5}$ vào biểu thức:

• Tử số:
$$2\tan \alpha – \cos \alpha = 2\left(-\frac{5}{12}\right) – \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{5}{6} + \frac{12}{13} = \frac{-65 + 72}{78} = \frac{7}{78}$$

• Mẫu số:
$$1 + \sin \alpha \cot \alpha = 1 + \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{12}{5}\right) = 1 – \frac{12}{13} = \frac{1}{13}$$

• Do đó giá trị của $M$ là:
$$M = \frac{\frac{7}{78}}{\frac{1}{13}} = \frac{7}{78} \times 13 = \frac{7}{6}$$

👉 Kết luận / Đáp án: $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$, $\tan \alpha = -\frac{5}{12}$, $\cot \alpha = -\frac{12}{5}$ và $M = \frac{7}{6}$.