Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$ có đồ thị $(C)$. Xét tính đúng sai:

Xét hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$:

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm bậc nhất: $y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$.
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 2 \\ x = 2 \Rightarrow y = -2 \end{array}\right.$.

Vì hệ số $a = 1 > 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ với giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = 2$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$ với giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = -2$. Do đó, tọa độ điểm cực đại là $(0; 2)$ và tọa độ điểm cực tiểu là $(2; -2)$.
👉 Ý a) ĐÚNG.

• Đạo hàm bậc hai: $y” = 6x – 6$.
Cho $y” = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y(1) = 1^3 – 3(1)^2 + 2 = 0$.
Do đó, điểm uốn của đồ thị là $I(1; 0)$. Đồ thị của mọi hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba.
👉 Ý b) ĐÚNG.

• Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn $I(1; 0)$ là $k = y'(1) = 3(1)^2 – 6(1) = -3$.
👉 Ý c) ĐÚNG.

• Xét sự tương giao đồ thị hàm số với đường thẳng $y = 3$:
Dựa vào bảng biến thiên, để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị $(C)$ tại 3 điểm phân biệt thì điều kiện là $y_{\text{CT}} < m < y_{\text{CĐ}} \Leftrightarrow -2 < m < 2$.
Ở đây $m = 3 > y_{\text{CĐ}} = 2$, do đó đường thẳng $y = 3$ chỉ cắt đồ thị $(C)$ tại đúng 1 điểm duy nhất (thuộc nhánh $x > 2$). Xem thêm bài toán về số nghiệm của phương trình dựa vào cực trị.
👉 Ý d) SAI.

👉 Kết luận Đúng/Sai: a – Đúng, b – Đúng, c – Đúng, d – Sai (A, B, C Đúng; D Sai)