Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t)=\dfrac{1}{100}t^2+\dfrac{13}{30}t$(m/s), trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động

Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t)=\dfrac{1}{100}t^2+\dfrac{13}{30}t$(m/s), trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với chất điểm $A$ nhưng chậm hơn $10$ giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a$(m/s$^2$) ($a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được $15$ giây thì đuổi kịp $A$. Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng bao nhiêu?
\par
Đáp án: 25

Lời giải: Quãng đường chất điểm $A$ đi được trong $25$ giây là
$S_A=\displaystyle \int\limits_0^{25}\left(\dfrac{1}{100}t^2+\dfrac{13}{30}t\right)\mathrm{d}t=\left(\dfrac{1}{300}t^3+\dfrac{13}{60}t^2\right)\bigg|_0^{25}=\dfrac{375}{2}(\text{m}).$
Ta có $v_B(t)=\displaystyle \int a\mathrm{d}t=at+C$, $v_B(0)=0\Rightarrow C=0 \Rightarrow v_B(t)=at$.
Quãng đường chất điểm $B$ đi được trong $15$ giây là
$S_B=\displaystyle \int\limits_0^{15}at\mathrm{d}t=\dfrac{at^2}{2}\bigg|_0^{15}=\dfrac{225a}{2}(\text{m}).$
Khi hai chất điểm gặp nhau ta có $S_A=S_B$ hay
$\dfrac{225a}{2}=\dfrac{375}{2}\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{3}.$
Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ là $v_B(15)=\dfrac{5}{3}\cdot 15=25$(m/s).