Họa sĩ thiết kế một micro có dạng khối tròn xoay, mặt cắt đứng chứa trục của khối tròn xoay có dạng như hình sau, trong đó $OA=OB=OI=2$ cm, $MC=MD=1$ cm, đường thẳng $OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $CD$, $OM=20$ cm, $\widehat{AOB}=90^\circ$

Họa sĩ thiết kế một micro có dạng khối tròn xoay, mặt cắt đứng chứa trục của khối tròn xoay có dạng như hình sau, trong đó $OA=OB=OI=2$ cm, $MC=MD=1$ cm, đường thẳng $OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $CD$, $OM=20$ cm, $\widehat{AOB}=90^\circ$. Thể tích của micro này là bao nhiêu cm$^3$? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 117

Lời giải:

Đặt hệ trục $Oxy$ như hình vẽ, đơn vị mỗi trục là $1$ cm.
Gọi $K(-2;0)$ và $H$ là giao điểm của $AB$ và $OI$.
Ta có tam giác $OAB$ là tam giác vuông cân, nên điểm $A(\sqrt{2};\sqrt{2})$.
Gọi $y=f(x)$ là đồ thị bao gồm cung nhỏ $KA$ và đoạn thẳng $AC$. Thể tích micro bằng
$\begin{array}{l} V=\displaystyle \pi\displaystyle\int\limits_{-2}^{20}{f(x)\mathrm{d}x}=\pi\displaystyle\int\limits_{-2}^{\sqrt{2}}{f(x)\mathrm{d}x}+\pi\displaystyle\int\limits_{\sqrt{2}}^{20}{f(x)}^2\mathrm{d}x \end{array}$ Phương trình đường tròn là $x^2+y^2=4$, hàm số có đồ thị cung nhỏ $KA$ là $y=\sqrt{4-x^2}$, $x \in [-2;\sqrt{2}]$.\\ Vì $A\left(\sqrt{2};\sqrt{2}\right)$, $C(20;1)$ nên phương trình đường thẳng $AC$ là
$\begin{array}{l} \left(AC\right)\colon\dfrac{x-20}{20-\sqrt{2}}=\dfrac{y-1}{1-\sqrt{2}}\Leftrightarrow y=\dfrac{\left(1-\sqrt{2}\right)\left(x-20\right)}{20-\sqrt{2}}+1. \end{array}$ Thể tích micro là
$\begin{array}{l} V=\displaystyle\pi\displaystyle\int\limits_{-2}^{\sqrt{2}}{\left(4-x^2\right)\mathrm{d}x}+\pi\displaystyle\int\limits_{\sqrt{2}}^{20}{{\left(\dfrac{\left(1-\sqrt{2}\right)\left(x-20\right)}{20-\sqrt{2}}+1\right)}^2\mathrm{d}x}\approx 117\left(\text{cm}^3\right). \end{array}$