Một thùng đựng bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là $30$ cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là $40$ cm, chiều cao thùng là $60$ cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol

Một thùng đựng bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là $30$ cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là $40$ cm, chiều cao thùng là $60$ cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Tính thể tích của thùng bia hơi là bao nhiêu lít? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

\par
Đáp án: 63,8

Lời giải: Đổi đơn vị: $30 \mathrm{cm} = 3 \mathrm{dm}$, $40 \mathrm{cm} = 4 \mathrm{dm}$ và $60 \mathrm{cm} = 6 \mathrm{dm}$.
Chọn hệ trục $Oxy$ sao cho trục $Ox$ đi qua tâm hai đáy thùng bia, đơn vị dm, cạnh bên hông thùng bia là paranol $(P) \colon y=ax^2+bx+c$. Khi đó parabol $(P)$ đi qua điểm $A\left(3;\dfrac{3}{2}\right)$ và có đỉnh $I(0;2)$.

Ta thấy $(P)$ có đỉnh $I(0;2)$ nên $(P) \colon y=ax^2+2$, mặt khác $(P)$ đi qua điểm $A\left(3;\dfrac{3}{2}\right)$ nên ta tìm được $(P)$ có phương trình $y=\dfrac{-x^2}{18}+2$.
Khi đó thể tích thùng bia bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi $(P)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=3$; $x=-3$ quay quanh trục $Ox$.
Vậy thể tích thùng bia là $V=\pi \displaystyle\int\limits_{-3}^{3} \left(\dfrac{-x^2}{18}+2\right)^2\mathrm{d}x =\dfrac{203}{10} \pi$ (dm$^3$) $\approx 63{,} 8$ lít.