Anh Dũng đi rừng đào được tổ mối với mặt cắt có dạng như hình vẽ

Anh Dũng đi rừng đào được tổ mối với mặt cắt có dạng như hình vẽ. Anh Dũng chú thích trên mặt cắt các kích thước. Đơn vị đo khoảng cách là dm. Tính diện tích mặt cắt của tổ mối. (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Đáp án: 11,3

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Đường cong trên là đồ thị của hàm số bậc 3 $(C_1) \colon y=ax^3 + bx^2 + cx + d$.
Có đạo hàm là $y^{\prime}=3x^2+2bx+c$.
$(C_1)$ đi qua điểm $(0;4)$ nên $d=4$.{$(1)$}
$(C_1)$ đi qua điểm $(-1;0)$ nên $-a+b-c+d=0$.{$(2)$}
$(C_1)$ đi qua điểm $(2;0)$ nên $8a+4b+2c+d=0$.{$(3)$}
$(C_1)$ có điểm cực tiểu là $(0;4)$ nên $c=0$.{$(4)$}
Từ $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$ suy ra $\left[\begin{array}{l} a=1\\ b=-3\\ c=0\\ d=4.\end{array}\right.$\\ Suy ra $(C_1) \colon y= x^3 – 3x^2 +4$.\\ Mặt khác đường cong bên dưới là một parabol $(C_2) \colon y=ax^2+bx+c$.\\ $(C_2)$ đi qua điểm $(-1,0)$ nên $a-b+c=0$. {$(5)$}\\ $(C_2)$ đi qua điểm $(2,0)$ nên $4a+2b+c=0$. {$(6)$}\\ $(C_2)$ đi qua điểm $\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{9}{4}\right)$ nên $\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+c=-\dfrac{9}{4} \Leftrightarrow a + 2b +4c = -9$. {$(7)$}\\ Từ $(5)$, $(6)$, $(7)$ suy ra $\left[\begin{array}{l} a=1\\ b=-1\\ c=-2.\end{array}\right.$
Suy ra $(C_2) \colon y= x^2 – x – 2$.
Hai đồ thị $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm $(-1,0)$ và $(2,0)$.
Diện tích mặt cắt là
$S = \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-1}^{2} \left[\left(x^3 – 3x^2 +4\right) – \left(x^2 – x – 2\right)\right] \mathrm{d}x = \dfrac{45}{4} \approx 11{,}3$ dm$^2$.