Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới
Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại các điểm $x_1$, $x_2$ sao cho $x_2=x_1+2$ và $f^{\prime\prime}(2)=0$

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới
Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại các điểm $x_1$, $x_2$ sao cho $x_2=x_1+2$ và $f^{\prime\prime}(2)=0$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là diện tích hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng bao nhiêu? (Kết quả viết dưới dạng số thập phân làm tròn tới hàng phần trăm).

Đáp án: 0,25

Lời giải: Đặt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,(a {>} 0) \Rightarrow f^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=6ax+2b$.
Ta có $f^{\prime\prime}(x)=0\Leftrightarrow 6a x+2b=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-b}{3a}$.
Vì $f^{\prime\prime}(2)=0$ nên $\dfrac{-b}{3a}=2\Leftrightarrow b=-6a$.
Mặt khác, theo định lý Vi-ét thì $x_1+x_2=\dfrac{-2b}{3a}=4$, kết hợp với $x_2-x_1=2$ ta suy ra $x_1=1$, $x_2=3$.
Do đó $x_1 \cdot x_2=\dfrac{c}{3a}=3\Leftrightarrow c=9a$.
Từ đó ta có $f(x)=a x^3-6a x^2+9a x+d$.
Từ đồ thị hàm số ta suy ra $f(2)=0\Leftrightarrow 8a-24a+18a+d=0\Leftrightarrow d=-2a$.
Suy ra $f(x)=a\left(x^3-6x^2+9x-2\right)$.
Xét phương trình $f(x)=0\Leftrightarrow x^3-6x^2+9x-2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=2\\ x=2-\sqrt{3} \\ x=2+\sqrt{3}.\end{array}\right.$
Từ đây ta tính được $S_1=-a \displaystyle\int\limits_0^{2-\sqrt{3}}\left(x^3-6x^2+9x-2\right) \mathrm{d} x=\dfrac{a}{4}, S_2=a \displaystyle\int\limits_{2-\sqrt{3}}^1\left(x^3-6x^2+9x-2\right)\mathrm{d}x=a.$
Vậy $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$.