Một nhà hàng nhập thịt từ 3 trang trại I, II, III với tỉ lệ 50%, 30% và 20%. Tỉ lệ thịt không đạt chuẩn của các trang trại lần lượt là 2%, 3% và 5%. Chọn ngẫu nhiên một phần thịt thấy không đạt chuẩn. Tính xác suất phần thịt đó từ trang trại III.

1. Dạng toán và Phương pháp giải

Dạng toán:

Bài toán tính xác suất của một nguyên nhân khi biết một biến cố (kết quả) đã xảy ra. Đây là dạng toán điển hình áp dụng Công thức Bayes, kết hợp với Công thức xác suất toàn phần trong chương trình Toán THPT.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Gọi $A_i$ là hệ đầy đủ các biến cố (các nguyên nhân có thể xảy ra). Kiểm tra $\sum P(A_i) = 1$.
• Bước 2: Gọi $B$ là biến cố đã xảy ra theo đề bài (kết quả).
• Bước 3: Dùng công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$: $$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + … + P(A_n)P(B|A_n)$$
• Bước 4: Dùng công thức Bayes để tính xác suất của nguyên nhân $A_k$ khi biết $B$ đã xảy ra: $$P(A_k|B) = \frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{P(B)}$$

2. Lời giải chi tiết

Đề bài: Một nhà hàng nhập thịt từ 3 trang trại I, II, III với tỉ lệ 50%, 30% và 20%. Tỉ lệ thịt không đạt chuẩn của các trang trại lần lượt là 2%, 3% và 5%. Chọn ngẫu nhiên một phần thịt và thấy nó không đạt chuẩn. Tính xác suất phần thịt đó được nhập từ trang trại III.

Giải:

Gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là biến cố phần thịt được nhập từ trang trại I, II và III. Ta có hệ biến cố đầy đủ và các xác suất tiên nghiệm:

• $P(A_1) = 0,5$
• $P(A_2) = 0,3$
• $P(A_3) = 0,2$

Gọi $B$ là biến cố “phần thịt được chọn không đạt chuẩn”. Theo giả thiết, xác suất có điều kiện là:

• $P(B|A_1) = 2\% = 0,02$
• $P(B|A_2) = 3\% = 0,03$
• $P(B|A_3) = 5\% = 0,05$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất chọn được phần thịt không đạt chuẩn là:

$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$$

$$P(B) = 0,5 \cdot 0,02 + 0,3 \cdot 0,03 + 0,2 \cdot 0,05 = 0,01 + 0,009 + 0,01 = 0,029$$

Áp dụng công thức Bayes, xác suất phần thịt không đạt chuẩn đó đến từ trang trại III là:

$$P(A_3|B) = \frac{P(A_3)P(B|A_3)}{P(B)} = \frac{0,2 \cdot 0,05}{0,029} = \frac{0,01}{0,029} = \frac{10}{29} \approx 0,3448$$

Kết luận: Xác suất phần thịt đó từ trang trại III là $\frac{10}{29}$ (khoảng $34,48\%$).

3. Bài tập tương tự tự luyện

Dưới đây là 5 bài tập áp dụng công thức Bayes, các em tự giải và đối chiếu kết quả ở phần đáp án nhé.

• Bài 1: Tại một sân bay, hành lý được xử lý qua 2 nhà ga T1 và T2 với tỉ lệ lần lượt là 60% và 40%. Tỉ lệ hành lý bị thất lạc ở nhà ga T1 là 0,5%, ở nhà ga T2 là 1%. Một hành khách thông báo bị thất lạc hành lý. Tính xác suất hành lý đó được xử lý ở nhà ga T1.
  
  Xem đáp án và lời giải

  Gọi $A_1, A_2$ là biến cố hành lý ở T1, T2. $B$ là biến cố hành lý thất lạc.

  $P(A_1)=0,6; P(A_2)=0,4$.

  $P(B|A_1)=0,005; P(B|A_2)=0,01$.

  $P(B) = 0,6 \cdot 0,005 + 0,4 \cdot 0,01 = 0,007$.

  $P(A_1|B) = \frac{0,6 \cdot 0,005}{0,007} = \frac{3}{7}$.

• Bài 2: Một thư viện có 3 thể loại sách: Khoa học (40%), Văn học (40%) và Lịch sử (20%). Tỉ lệ sách bị rách trang của các thể loại tương ứng là 1%, 2% và 3%. Thủ thư lấy ngẫu nhiên một cuốn sách và phát hiện bị rách trang. Tính xác suất đó là cuốn sách Lịch sử.
  
  Xem đáp án và lời giải

  $P(K)=0,4; P(V)=0,4; P(L)=0,2$.

  Gọi $R$ là biến cố rách trang: $P(R|K)=0,01; P(R|V)=0,02; P(R|L)=0,03$.

  $P(R) = 0,4 \cdot 0,01 + 0,4 \cdot 0,02 + 0,2 \cdot 0,03 = 0,018$.

  $P(L|R) = \frac{0,2 \cdot 0,03}{0,018} = \frac{0,006}{0,018} = \frac{1}{3}$.

• Bài 3: Trung tâm chăm sóc khách hàng có 3 nhân viên: An (nhận 40% cuộc gọi), Bình (35%) và Châu (25%). Tỉ lệ khách hàng phàn nàn sau cuộc gọi của An, Bình, Châu lần lượt là 2%, 3% và 4%. Chọn ngẫu nhiên một đánh giá phàn nàn. Tính xác suất cuộc gọi đó do An thực hiện.
  
  Xem đáp án và lời giải

  $P(A)=0,4; P(B)=0,35; P(C)=0,25$.

  Gọi $F$ là biến cố phàn nàn: $P(F|A)=0,02; P(F|B)=0,03; P(F|C)=0,04$.

  $P(F) = 0,4 \cdot 0,02 + 0,35 \cdot 0,03 + 0,25 \cdot 0,04 = 0,0285$.

  $P(A|F) = \frac{0,4 \cdot 0,02}{0,0285} = \frac{0,008}{0,0285} = \frac{16}{57}$.

• Bài 4: Một nông trại mua hạt giống từ hai nguồn X (70%) và Y (30%). Tỉ lệ hạt không nảy mầm từ nguồn X là 5%, từ nguồn Y là 10%. Gieo ngẫu nhiên một hạt giống và thấy nó không nảy mầm. Tính xác suất hạt giống đó mua từ nguồn Y.
  
  Xem đáp án và lời giải

  $P(X)=0,7; P(Y)=0,3$.

  Gọi $K$ là hạt không nảy mầm: $P(K|X)=0,05; P(K|Y)=0,1$.

  $P(K) = 0,7 \cdot 0,05 + 0,3 \cdot 0,1 = 0,065$.

  $P(Y|K) = \frac{0,3 \cdot 0,1}{0,065} = \frac{6}{13}$.

• Bài 5: Một tiệm bánh nướng bánh bằng hai lò: Lò 1 đảm nhận 60% số lượng, Lò 2 đảm nhận 40%. Tỉ lệ bánh bị cháy ở Lò 1 là 3%, ở Lò 2 là 5%. Khách hàng mua một chiếc bánh và phát hiện bị cháy. Tính xác suất chiếc bánh được nướng ở Lò 2.
  
  Xem đáp án và lời giải

  $P(L_1)=0,6; P(L_2)=0,4$.

  Gọi $C$ là biến cố bánh cháy: $P(C|L_1)=0,03; P(C|L_2)=0,05$.

  $P(C) = 0,6 \cdot 0,03 + 0,4 \cdot 0,05 = 0,038$.

  $P(L_2|C) = \frac{0,4 \cdot 0,05}{0,038} = \frac{10}{19}$.