Một loại bệnh X có tỷ lệ mắc trong dân số là 1%. Nếu một người thực sự mắc bệnh, xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất 95%. Nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm có thể cho kết quả dương tính giả với xác suất 2%. Một người đi làm xét nghiệm và nhận kết quả dương tính. Tính xác suất để người này thực sự mắc bệnh X.

Dạng toán và Phương pháp giải

1. Dạng toán

Bài toán trên yêu cầu tính xác suất của một nguyên nhân (có thực sự mắc bệnh hay không) khi đã biết hậu quả xảy ra (kết quả xét nghiệm là dương tính). Đây là dạng toán điển hình áp dụng Công thức Bayes trong chương trình Toán 12 phần Xác suất – Thống kê.

2. Phương pháp giải

• Bước 1: Đặt tên các biến cố liên quan. Xác định nhóm biến cố tạo thành một hệ đầy đủ (thường là nguyên nhân) và biến cố điều kiện (hậu quả đã xảy ra).
• Bước 2: Tính xác suất của biến cố điều kiện bằng Công thức xác suất toàn phần.
• Bước 3: Tính xác suất của nguyên nhân cần tìm bằng Công thức Bayes: $P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{P(B)}$.

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố: “Người đó thực sự mắc bệnh X”. Suy ra $\overline{A}$ là biến cố: “Người đó không mắc bệnh X”. Hai biến cố $A$ và $\overline{A}$ tạo thành một hệ đầy đủ.

Theo đề bài ta có: $P(A) = 1\% = 0,01$; do đó $P(\overline{A}) = 1 – 0,01 = 0,99$.

Gọi $B$ là biến cố: “Kết quả xét nghiệm của người đó là dương tính”.

Theo giả thiết, xác suất dương tính khi có bệnh là $P(B|A) = 95\% = 0,95$.

Xác suất dương tính giả (không bệnh nhưng vẫn dương tính) là $P(B|\overline{A}) = 2\% = 0,02$.

Xác suất để một người bất kỳ làm xét nghiệm có kết quả dương tính (theo công thức xác suất toàn phần) là:
$P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A})$
$P(B) = 0,95 \cdot 0,01 + 0,02 \cdot 0,99 = 0,0095 + 0,0198 = 0,0293$.

Xác suất để người đó thực sự mắc bệnh khi biết kết quả xét nghiệm dương tính (theo công thức Bayes) là:
$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0,0095}{0,0293} \approx 0,3242$.

Kết luận: Xác suất người này thực sự mắc bệnh chỉ là khoảng $32,42\%$. (Điều này giải thích vì sao với những bệnh hiếm gặp, một xét nghiệm dương tính chưa chắc đã khẳng định 100% bệnh nhân bị bệnh do ảnh hưởng của tỷ lệ dương tính giả trên số đông người không mắc bệnh).

5 Bài tập tương tự để rèn luyện

Bài 1: Một sinh viên đi học bằng xe buýt với xác suất 40% và đi bằng xe máy với xác suất 60%. Nếu đi xe buýt, xác suất đi học muộn là 10%. Nếu đi xe máy, xác suất đi học muộn là 5%. Hôm nay sinh viên đó đi học muộn. Tính xác suất để hôm nay sinh viên đó đi học bằng xe buýt.

Bài 2: Một công ty bảo hiểm chia khách hàng thành 2 nhóm: rủi ro cao (chiếm 20%) và rủi ro thấp (chiếm 80%). Xác suất gặp tai nạn trong năm của nhóm rủi ro cao là 0,05 và nhóm rủi ro thấp là 0,01. Một khách hàng vừa báo cáo bị tai nạn. Tính xác suất khách hàng đó thuộc nhóm rủi ro cao.

Bài 3: Trong hòm thư của một người có 30% là email rác (spam). Bộ lọc tự động chặn đúng 90% email rác, nhưng cũng chặn nhầm 5% email bình thường. Một email vừa bị chặn. Tính xác suất để email đó thực sự là email rác.

Bài 4: Có 3 ứng cử viên A, B, C tranh cử chức giám đốc với xác suất đắc cử lần lượt là 0,3; 0,5; 0,2. Nếu A, B, C đắc cử thì xác suất công ty tăng lương cho nhân viên tương ứng là 0,8; 0,1; 0,4. Sau bầu cử thấy nhân viên được tăng lương. Tính xác suất ứng viên A đã đắc cử.

Bài 5: Có hai hộp bi. Hộp I có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Hộp II có 4 bi đỏ và 1 bi xanh. Một người chọn ngẫu nhiên một hộp, sau đó từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi đỏ. Tính xác suất để viên bi đó được lấy từ hộp I.