Dạng toán
Bài toán thuộc chuyên đề Xác suất cổ điển (Toán 10), cụ thể là dạng bài tính xác suất của biến cố liên quan đến hoán vị, sắp xếp vị trí các phần tử có điều kiện (ví dụ: đứng cạnh nhau, không đứng cạnh nhau).
Phương pháp giải
- Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$ bằng cách tính số cách xếp tất cả các phần tử mà không có điều kiện gì.
- Bước 2: Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$, ký hiệu là $n(A)$. Đối với điều kiện “các phần tử luôn đứng cạnh nhau”, ta sử dụng phương pháp “buộc”: Coi các phần tử cần đứng cạnh nhau là một khối (hoặc một nhóm). Tính số cách hoán vị trong nội bộ khối đó, sau đó hoán vị khối này với các phần tử còn lại.
- Bước 3: Tính xác suất của biến cố theo công thức $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.
Lời giải chi tiết
Đề bài: Một nhóm học sinh gồm 4 nam và 3 nữ xếp thành một hàng ngang để chụp ảnh kỷ yếu. Tính xác suất để 3 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau.
Giải:
Xếp 7 học sinh (4 nam, 3 nữ) thành một hàng ngang. Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = 7! = 5040$.
Gọi biến cố $A$: “3 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau”.
Để 3 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau, ta “buộc” 3 bạn nữ này thành một nhóm (gọi là nhóm $X$). Số cách xếp 3 bạn nữ trong nội bộ nhóm $X$ là: $3! = 6$ (cách).
Lúc này, ta coi nhóm $X$ như là một phần tử. Ta cần xếp phần tử $X$ và 4 bạn nam còn lại (tổng cộng có $1 + 4 = 5$ phần tử) thành một hàng ngang. Số cách xếp 5 phần tử này là: $5! = 120$ (cách).
Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $n(A) = 3! \times 5! = 6 \times 120 = 720$.
Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{720}{5040} = \frac{1}{7}$.
Kết luận: Xác suất để 3 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau là $\frac{1}{7}$.
Bài tập tự luyện (Có đáp án)
Dưới đây là 5 bài tập tương tự để các em rèn luyện thêm phương pháp hoán vị và tổ hợp trong xác suất:
Bài 1:
Xếp ngẫu nhiên 5 bạn nam và 2 bạn nữ thành một hàng ngang. Tính xác suất để 2 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải:
Không gian mẫu: $n(\Omega) = 7! = 5040$.
Gọi $B$ là biến cố “2 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau”. Ghép 2 bạn nữ thành 1 nhóm, có $2! = 2$ cách hoán vị.
Xếp nhóm 2 bạn nữ và 5 bạn nam (tổng 6 phần tử), có $6! = 720$ cách.
Suy ra $n(B) = 2 \times 720 = 1440$.
Xác suất: $P(B) = \frac{1440}{5040} = \frac{2}{7}$.
Bài 2:
Một tổ gồm 6 học sinh (trong đó có bạn An và bạn Bình) xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để An và Bình không đứng cạnh nhau.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải:
Không gian mẫu: $n(\Omega) = 6! = 720$.
Gọi $C$ là biến cố “An và Bình không đứng cạnh nhau”. Ta tính xác suất của biến cố đối $\overline{C}$: “An và Bình đứng cạnh nhau”.
Ghép An và Bình thành 1 nhóm có $2! = 2$ cách. Xếp nhóm này cùng 4 bạn còn lại (tổng 5 phần tử) có $5! = 120$ cách.
Suy ra $n(\overline{C}) = 2 \times 120 = 240 \Rightarrow P(\overline{C}) = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}$.
Xác suất cần tìm: $P(C) = 1 – P(\overline{C}) = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Bài 3:
Xếp ngẫu nhiên 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 2 quyển sách Hóa (các quyển sách đôi một khác nhau) lên một giá sách nằm ngang. Tính xác suất để các quyển sách cùng môn đứng cạnh nhau.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải:
Không gian mẫu (xếp 9 quyển sách): $n(\Omega) = 9! = 362880$.
Buộc 4 sách Toán thành 1 nhóm ($4!$ cách), 3 sách Lý thành 1 nhóm ($3!$ cách), 2 sách Hóa thành 1 nhóm ($2!$ cách).
Hoán vị 3 nhóm môn học này trên giá sách có $3!$ cách.
Số cách xếp thoả mãn: $n(D) = 3! \times 4! \times 3! \times 2! = 6 \times 24 \times 6 \times 2 = 1728$.
Xác suất: $P(D) = \frac{1728}{362880} = \frac{1}{210}$.
Bài 4:
Một bàn dài có 10 ghế. Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ ngồi vào bàn. Tính xác suất để nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải:
Không gian mẫu: $n(\Omega) = 10!$.
Để nam nữ ngồi xen kẽ, có 2 trường hợp: (Nam – Nữ – Nam…) hoặc (Nữ – Nam – Nữ…).
Với mỗi trường hợp, số cách xếp 5 nam vào 5 vị trí là $5!$, số cách xếp 5 nữ vào 5 vị trí là $5!$.
Số cách xếp thoả mãn: $n(E) = 2 \times 5! \times 5! = 28800$.
Xác suất: $P(E) = \frac{28800}{10!} = \frac{28800}{3628800} = \frac{1}{126}$.
Bài 5:
Có 8 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 8. Chọn ngẫu nhiên đồng thời ra 3 tấm thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 tấm thẻ là một số chẵn.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải:
Không gian mẫu: Chọn 3 thẻ từ 8 thẻ: $n(\Omega) = C_{8}^{3} = 56$.
Tập hợp 8 thẻ có 4 thẻ mang số chẵn (2, 4, 6, 8) và 4 thẻ mang số lẻ (1, 3, 5, 7).
Để tổng 3 số là chẵn, ta có 2 trường hợp:
– TH1: Cả 3 thẻ đều là số chẵn: Có $C_{4}^{3} = 4$ cách.
– TH2: 1 thẻ chẵn và 2 thẻ lẻ: Có $C_{4}^{1} \times C_{4}^{2} = 4 \times 6 = 24$ cách.
Số kết quả thuận lợi: $n(F) = 4 + 24 = 28$.
Xác suất: $P(F) = \frac{28}{56} = \frac{1}{2}$.
Để lại một bình luận