Tính xác suất có điều kiện trong bài toán rút bi không hoàn lại

Đề bài

Một hộp chứa 5 viên bi đỏ và 7 viên bi xanh. Người ta rút ngẫu nhiên lần lượt hai viên bi từ hộp mà không trả lại. Biết rằng viên bi rút ra ở lần thứ hai là bi đỏ, hãy tính xác suất để viên bi rút ra ở lần thứ nhất cũng là bi đỏ.

Dạng toán

Tính xác suất có điều kiện sử dụng công thức nhân xác suất và công thức xác suất toàn phần (hoặc công thức Bayes).

Phương pháp giải

• Bước 1: Gọi các biến cố tương ứng với các giả thiết và yêu cầu của bài toán.
• Bước 2: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
• Bước 3: Sử dụng công thức xác suất toàn phần để tính xác suất của biến cố điều kiện $P(B)$.
• Bước 4: Thay số và rút gọn để ra kết quả cuối cùng.

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố: “Viên bi rút ra lần thứ nhất là bi đỏ”.

Gọi $B$ là biến cố: “Viên bi rút ra lần thứ hai là bi đỏ”.

Bài toán yêu cầu tính xác suất có điều kiện $P(A|B)$.

Theo công thức xác suất có điều kiện, ta có:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Trước tiên, ta tính xác suất để cả hai lần đều rút được bi đỏ (tức là $P(A \cap B)$):

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11} = \frac{20}{132} = \frac{5}{33}$$

Tiếp theo, ta tính xác suất để viên bi rút ra lần thứ hai là bi đỏ ($P(B)$) bằng công thức xác suất toàn phần. Biến cố $B$ có thể xảy ra trong 2 trường hợp: lần 1 đỏ – lần 2 đỏ, hoặc lần 1 xanh – lần 2 đỏ.

$$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})$$

$$P(B) = \left(\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11}\right) + \left(\frac{7}{12} \cdot \frac{5}{11}\right) = \frac{20}{132} + \frac{35}{132} = \frac{55}{132} = \frac{5}{12}$$

Cuối cùng, thay vào công thức xác suất có điều kiện:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{5/33}{5/12} = \frac{12}{33} = \frac{4}{11}$$

Kết luận: Xác suất để viên bi rút ra lần thứ nhất là bi đỏ, biết lần thứ hai rút được bi đỏ là $\frac{4}{11}$.

Bài tập tự luyện

Câu 1: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 8, tính xác suất để có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm.

Câu 2: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Cần chọn ngẫu nhiên 2 học sinh đi trực nhật. Biết rằng 2 học sinh được chọn có cùng giới tính, tính xác suất cả 2 học sinh đó đều là nam.

Câu 3: Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng 1 sản xuất 60% tổng sản lượng, phân xưởng 2 sản xuất 40%. Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng 1 là 2%, của phân xưởng 2 là 3%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy và thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng 1 sản xuất.

Câu 4: Gieo một đồng xu cân đối, đồng chất 3 lần liên tiếp. Biết rằng có ít nhất 1 lần đồng xu xuất hiện mặt Sấp (S). Tính xác suất để có đúng 2 lần xuất hiện mặt Sấp.

Câu 5: Một hộp có 4 bi trắng và 6 bi đen. Người ta rút ngẫu nhiên lần lượt hai viên bi từ hộp (không hoàn lại). Biết viên bi rút ra ở lần thứ hai là bi trắng, tính xác suất để viên bi rút ra ở lần thứ nhất là bi đen.

Xem đáp án và lời giải

Câu 1: Tổng 8 chấm có 5 trường hợp: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2). Trong đó có 2 trường hợp xuất hiện mặt 3 chấm: (3;5), (5;3). Xác suất cần tìm là $P = \frac{2}{5}$.

Câu 2: Số cách chọn 2 HS cùng giới tính: $C_{25}^2 + C_{15}^2 = 300 + 105 = 405$ cách. Số cách chọn 2 HS nam: $C_{25}^2 = 300$ cách. Xác suất cần tìm là $P = \frac{300}{405} = \frac{20}{27}$.

Câu 3: Gọi $F$ là biến cố lấy được phế phẩm, $M_1$ là sản phẩm do PX1 sản xuất. $P(F) = 0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.03 = 0.024$. Xác suất cần tìm $P(M_1|F) = \frac{P(M_1 \cap F)}{P(F)} = \frac{0.6 \times 0.02}{0.024} = 0.5$.

Câu 4: Không gian mẫu khi gieo 3 lần có 8 phần tử. Có ít nhất 1 mặt S có 7 trường hợp (trừ NNN). Có đúng 2 mặt S có 3 trường hợp (SSN, SNS, NSS). Xác suất cần tìm là $P = \frac{3}{7}$.

Câu 5: Gọi $A$: “Lần 1 bi đen”, $B$: “Lần 2 bi trắng”. $P(B) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} + \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}$. $P(A \cap B) = \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}$. Xác suất cần tìm $P(A|B) = \frac{4/15}{2/5} = \frac{2}{3}$.