Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $DMNF$ có $D=\left( 1;0;-7\right)$, $M=\left( 8;-3;-7\right)$ và $N=\left( 17; -10; 5 \right)$. Gọi $d$ là độ dài đoạn $MF$. Tính giá trị của $d^2$.
💡 Đáp án: 164
💡 Lời giải: Gọi $I$ là trung điểm của $DN$ suy ra $I\left(9;-5; -1 \right)$. Ta có $\overrightarrow{MI}=\left( 1; -2; 6\right)$. Do đó $d^2=MF^2=4MI^2$ = $164$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng toán xác định độ dài đường chéo hoặc cạnh của hình bình hành trong không gian $Oxyz$ khi biết tọa độ ba đỉnh. Phương pháp giải dựa trên tính chất cơ bản của hình bình hành: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Nếu cần tìm độ dài đường chéo $AC$ khi biết $A, B, D$, ta gọi $I$ là trung điểm của $BD$. Khi đó $AC = 2AI$. Hoặc tính trực tiếp tọa độ đỉnh thứ tư $C$ bằng công thức vector $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ (hoặc $C = B + D – A$) rồi tính khoảng cách.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**1. Bài toán 1:**
Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A=(1; 1; 1)$, $B=(3; 2; 4)$ và $D=(2; 0; 5)$. Gọi $d$ là độ dài đường chéo $AC$. Tính giá trị của $d^2$.
A. 48
B. 58
C. 68
D. 78
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Tọa độ đỉnh $C$ là $C = B + D – A = (3+2-1; 2+0-1; 4+5-1) = (4; 1; 8)$. Độ dài đường chéo $d^2 = AC^2 = (4-1)^2 + (1-1)^2 + (8-1)^2 = 3^2 + 0^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$.
**2. Bài toán 2:**
Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $PQRS$ có $P=(0; 1; 3)$, $Q=(2; 3; 1)$ và $R=(6; 5; 7)$. Gọi $d$ là độ dài đường chéo $QS$. Tính giá trị của $d^2$.
A. 68
B. 52
C. 76
D. 80
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Gọi $I$ là trung điểm của đường chéo $PR$. $I = (\frac{0+6}{2}; \frac{1+5}{2}; \frac{3+7}{2}) = (3; 3; 5)$. Ta có $\overrightarrow{QI} = (1; 0; 4)$. $QI^2 = 1^2 + 0^2 + 4^2 = 17$. Độ dài đường chéo $d^2 = QS^2 = 4 \cdot QI^2 = 4 \cdot 17 = 68$.
**3. Bài toán 3:**
Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $EFGH$ có $E=(1; 0; 0)$, $F=(2; 1; 3)$ và $H=(4; 3; 1)$. Tính độ dài cạnh $FG$.
A. $\sqrt{17}$
B. $\sqrt{19}$
C. $\sqrt{21}$
D. $\sqrt{23}$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Vì $EFGH$ là hình bình hành nên độ dài cạnh $FG$ bằng độ dài cạnh $EH$. $E=(1; 0; 0)$, $H=(4; 3; 1)$. $EH^2 = (4-1)^2 + (3-0)^2 + (1-0)^2 = 3^2 + 3^2 + 1^2 = 9 + 9 + 1 = 19$. Do đó $FG = \sqrt{19}$.
**4. Bài toán 4:**
Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $KLMN$ có $K=(0; 0; 0)$, $L=(1; 1; 1)$, $N=(9; 5; 1)$. Gọi $d$ là độ dài đoạn $KM$. Tính giá trị $d^2$.
A. 120
B. 140
C. 160
D. 180
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Gọi $I$ là trung điểm của $LN$. $I = (\frac{1+9}{2}; \frac{1+5}{2}; \frac{1+1}{2}) = (5; 3; 1)$. Ta có $\overrightarrow{KI} = (5; 3; 1)$. $KI^2 = 5^2 + 3^2 + 1^2 = 35$. Độ dài đường chéo $d^2 = KM^2 = 4 \cdot KI^2 = 4 \cdot 35 = 140$.
**5. Bài toán 5:**
Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A=(1; 0; 0)$, $B=(4; 1; 1)$, $C=(5; 6; 5)$. Tính độ dài đường chéo $BD$.
A. 25
B. $\sqrt{29}$
C. $\sqrt{34}$
D. 36
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Ta tìm tọa độ đỉnh $D$ dựa trên $D = A+C-B = (1+5-4; 0+6-1; 0+5-1) = (2; 5; 4)$. Độ dài $BD = \sqrt{(4-2)^2 + (1-5)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$.